Vamos analisar a função \( f(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) \). 1. Verificando se é par ou ímpar: - Para verificar se \( f(x) \) é par, precisamos checar se \( f(-x) = f(x) \). - Calculando \( f(-x) \): \[ f(-x) = \log(-x + \sqrt{(-x)^2 + 1}) = \log(-x + \sqrt{x^2 + 1}) \] - Agora, observe que \( -x + \sqrt{x^2 + 1} \) é sempre positivo para \( x \in \mathbb{R} \), e podemos ver que \( f(-x) \neq f(x) \) e \( f(-x) \neq -f(x) \). Portanto, não é nem par nem ímpar. 2. Verificando a desigualdade \( f(2x) > f(x) \) para todo \( x \neq 0 \): - Vamos calcular \( f(2x) \): \[ f(2x) = \log(2x + \sqrt{(2x)^2 + 1}) = \log(2x + \sqrt{4x^2 + 1}) \] - Para \( x > 0 \), \( 2x + \sqrt{4x^2 + 1} > x + \sqrt{x^2 + 1} \) é verdadeiro, então \( f(2x) > f(x) \). - Para \( x < 0 \), a mesma lógica se aplica, pois a função é crescente. 3. Verificando as raízes: - Para \( f(x) = 0 \): \[ \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) = 0 \implies x + \sqrt{x^2 + 1} = 1 \] - Isso não tem solução real, pois \( x + \sqrt{x^2 + 1} \) é sempre maior que 1. Com base nas análises, a alternativa correta é: c) \( f(2x) > f(x) \) para todo \( x \neq 0 \).