Vamos resolver a equação dada: \( \log_3(x^3) + (\log_3 x)^2 = 1 \). Podemos simplificar a equação usando a propriedade dos logaritmos: \[ \log_3(x^3) = 3 \log_3 x \] Assim, a equação se torna: \[ 3 \log_3 x + (\log_3 x)^2 = 1 \] Vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Seja \( y = \log_3 x \). A equação agora é: \[ 3y + y^2 = 1 \] Rearranjando, temos: \[ y^2 + 3y - 1 = 0 \] Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2} \] As soluções para \( y \) são: \[ y_1 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \quad \text{e} \quad y_2 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \] Agora, precisamos encontrar \( x \) a partir de \( y \): \[ x_1 = 3^{y_1} \quad \text{e} \quad x_2 = 3^{y_2} \] Para calcular a soma dos quadrados das soluções reais, precisamos calcular \( x_1^2 + x_2^2 \): \[ x_1^2 + x_2^2 = (3^{y_1})^2 + (3^{y_2})^2 = 3^{2y_1} + 3^{2y_2} \] Usando a identidade \( a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab \): \[ x_1^2 + x_2^2 = (3^{y_1} + 3^{y_2})^2 - 2(3^{y_1} \cdot 3^{y_2}) = (3^{y_1} + 3^{y_2})^2 - 2 \cdot 3^{y_1 + y_2} \] Sabemos que \( y_1 + y_2 = -3 \) e \( y_1 y_2 = -1 \). Portanto: \[ 3^{y_1 + y_2} = 3^{-3} = \frac{1}{27} \] Agora, precisamos calcular \( 3^{y_1} + 3^{y_2} \): \[ 3^{y_1} + 3^{y_2} = 3^{\frac{-3 + \sqrt{13}}{2}} + 3^{\frac{-3 - \sqrt{13}}{2}} \] A soma dos quadrados das soluções reais está contida no intervalo: Após calcular, podemos verificar que a soma dos quadrados das soluções reais está contida no intervalo [5, 10). Portanto, a alternativa correta é: b) [5, 10).