Para resolver essa questão, precisamos entender o número complexo dado: \( z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \). Esse número pode ser representado na forma polar, onde: - O módulo \( |z| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 1 \). - O argumento \( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\right) = \frac{\pi}{3} \). Assim, podemos escrever \( z \) na forma polar como \( z = e^{i\frac{\pi}{3}} \). Quando multiplicamos \( z \) por si mesmo \( n \) vezes, temos: \[ z^n = \left(e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^n = e^{i\frac{n\pi}{3}}. \] Para que o produto \( z \cdot z^2 \cdot z^3 \cdots z^n \) seja um número real positivo, o argumento total deve ser um múltiplo inteiro de \( 2\pi \). O argumento total é: \[ \frac{1\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{3} + \ldots + \frac{n\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \left(1 + 2 + 3 + \ldots + n\right) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{n(n+1)}{2}. \] Precisamos que isso seja um múltiplo de \( 2\pi \): \[ \frac{n(n+1)}{2} \text{ deve ser um múltiplo de } 6. \] Agora, vamos testar as opções: - Para \( n = 1 \): \( \frac{1(1+1)}{2} = 1 \) (não é múltiplo de 6). - Para \( n = 2 \): \( \frac{2(2+1)}{2} = 3 \) (não é múltiplo de 6). - Para \( n = 3 \): \( \frac{3(3+1)}{2} = 6 \) (é múltiplo de 6). - Para \( n = 4 \): \( \frac{4(4+1)}{2} = 10 \) (não é múltiplo de 6). - Para \( n = 5 \): \( \frac{5(5+1)}{2} = 15 \) (é múltiplo de 6). O menor inteiro positivo \( n \) para o qual o produto é um real positivo é \( n = 3 \). Portanto, a resposta correta é: c) 3.