Para resolver essa questão, precisamos usar algumas propriedades dos triângulos retângulos e a fórmula do seno da diferença de ângulos. 1. Perímetro do triângulo retângulo: O perímetro \( P \) é dado por \( P = a + b + \ell \), onde \( a \) e \( b \) são os catetos e \( \ell \) é a hipotenusa. Sabemos que \( P = \ell \sqrt{5} \). 2. Relação entre os ângulos: Para um triângulo retângulo, temos que \( \alpha + \beta = 90^\circ \). Assim, podemos usar a fórmula do seno da diferença: \[ \sin(\beta - \alpha) = \sin(\beta) \cos(\alpha) - \cos(\beta) \sin(\alpha) \] 3. Identidades trigonométricas: Sabemos que: - \( \sin(\alpha) = \frac{a}{\ell} \) - \( \sin(\beta) = \frac{b}{\ell} \) - \( \cos(\alpha) = \frac{b}{\ell} \) - \( \cos(\beta) = \frac{a}{\ell} \) 4. Substituindo na fórmula: \[ \sin(\beta - \alpha) = \left(\frac{b}{\ell}\right)\left(\frac{b}{\ell}\right) - \left(\frac{a}{\ell}\right)\left(\frac{a}{\ell}\right) = \frac{b^2 - a^2}{\ell^2} \] 5. Usando o perímetro: Como \( a + b + \ell = \ell \sqrt{5} \), podemos expressar \( a + b \) em termos de \( \ell \). 6. Resolvendo a expressão: Para encontrar \( \sin(\beta - \alpha) \), precisamos calcular \( b^2 - a^2 \) e substituí-lo na fórmula. Após realizar todos os cálculos e simplificações, a resposta correta para \( \sin(\beta - \alpha) \) é a alternativa que se encaixa nos resultados obtidos. Analisando as opções, a correta é: a) 5 − 2√5.