O menor dos possíveis coeficientes do termo em x8, no desenvolvimento de (2 + x2 + 3x3)10 é igual a a) 11 240 b) 12 420 c) 13 440 d) 14 720

Para encontrar o menor coeficiente do termo em \(x^8\) no desenvolvimento de \((2 + x^2 + 3x^3)^{10}\), precisamos usar o Teorema do Binômio. Vamos considerar a forma geral do termo no desenvolvimento: \[ T = \frac{10!}{a!b!c!} \cdot (2^a) \cdot (x^2)^b \cdot (3x^3)^c \] onde \(a + b + c = 10\) e o grau total de \(x\) no termo é \(2b + 3c = 8\). Agora, podemos expressar \(c\) em termos de \(b\): \[ c = 10 - a - b \] Substituindo na equação do grau de \(x\): \[ 2b + 3(10 - a - b) = 8 \] Simplificando: \[ 2b + 30 - 3a - 3b = 8 \] \[ -b - 3a + 30 = 8 \] \[ -b - 3a = -22 \] \[ b + 3a = 22 \] Agora temos um sistema de duas equações: 1. \(a + b + c = 10\) 2. \(b + 3a = 22\) Substituindo \(c = 10 - a - b\) na segunda equação: \[ b = 22 - 3a \] Substituindo na primeira equação: \[ a + (22 - 3a) + (10 - a - (22 - 3a)) = 10 \] Resolvendo isso, encontramos os valores possíveis de \(a\), \(b\) e \(c\). Após resolver, encontramos que os valores que satisfazem as equações são \(a = 4\), \(b = 10 - 4 - c\) e \(c = 0\). Agora, substituímos esses valores na fórmula do coeficiente: \[ \text{Coeficiente} = \frac{10!}{4!b!c!} \cdot (2^4) \cdot (3^0) \] Calculando para cada combinação de \(a\), \(b\) e \(c\) que satisfaçam as equações, encontramos o menor coeficiente. Após os cálculos, o menor coeficiente do termo em \(x^8\) é: Alternativa correta: a) 11 240.