Assinale a alternativa que apresenta o termo independente de x na expansão binomial (x2 + 1/x6)8 a) 1 b) 8 c) 28 d) 56 e) 70

Para encontrar o termo independente de \( x \) na expansão binomial de \( (x^2 + \frac{1}{x^6})^8 \), utilizamos o Teorema do Binômio. A forma geral do termo na expansão é dada por: \[ T_k = \binom{n}{k} (a)^{n-k} (b)^k \] onde \( n = 8 \), \( a = x^2 \) e \( b = \frac{1}{x^6} \). O termo \( T_k \) se torna: \[ T_k = \binom{8}{k} (x^2)^{8-k} \left(\frac{1}{x^6}\right)^k = \binom{8}{k} x^{2(8-k)} \cdot x^{-6k} = \binom{8}{k} x^{16 - 2k - 6k} = \binom{8}{k} x^{16 - 8k} \] Para que o termo seja independente de \( x \), precisamos que o expoente de \( x \) seja zero: \[ 16 - 8k = 0 \implies 8k = 16 \implies k = 2 \] Agora, substituímos \( k = 2 \) na fórmula do termo: \[ T_2 = \binom{8}{2} (x^2)^{8-2} \left(\frac{1}{x^6}\right)^2 = \binom{8}{2} (x^2)^6 \cdot \frac{1}{x^{12}} = \binom{8}{2} x^{12} \cdot \frac{1}{x^{12}} = \binom{8}{2} \] Calculando \( \binom{8}{2} \): \[ \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \] Portanto, o termo independente de \( x \) na expansão é: c) 28.