Para resolver a questão, vamos analisar cada limite apresentado. (a) \( \lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x) \) Quando \( x \) se aproxima de \( 0^+ \), \( \ln(x) \) tende a \( -\infty \) e \( x^2 \) tende a \( 0 \). Portanto, temos uma indeterminação do tipo \( 0 \cdot (-\infty) \). Para aplicar a Regra de L'Hôpital, precisamos reescrever a expressão: \[ \lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{1/x^2} \] Agora, quando \( x \to 0^+ \), \( \ln(x) \to -\infty \) e \( 1/x^2 \to +\infty \), resultando em uma indeterminação do tipo \( -\infty / \infty \). Agora podemos aplicar a Regra de L'Hôpital: Derivando o numerador e o denominador: \[ \text{Numerador: } \frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x} \] \[ \text{Denominador: } \frac{d}{dx}(1/x^2) = -\frac{2}{x^3} \] Aplicando a Regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{2}{x^3}} = \lim_{x \to 0^+} -\frac{x^2}{2} = 0 \] Portanto, \( \lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x) = 0 \). (b) \( \lim_{x \to +\infty} x \sin(1/x) \) Quando \( x \to +\infty \), \( \sin(1/x) \) tende a \( \sin(0) = 0 \) e \( x \) tende a \( +\infty \). Portanto, temos uma indeterminação do tipo \( \infty \cdot 0 \). Reescrevendo: \[ \lim_{x \to +\infty} x \sin(1/x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(1/x)}{1/x} \] Quando \( x \to +\infty \), \( \sin(1/x) \to 0 \) e \( 1/x \to 0 \), resultando em uma indeterminação do tipo \( 0/0 \). Agora podemos aplicar a Regra de L'Hôpital: Derivando o numerador e o denominador: \[ \text{Numerador: } \frac{d}{dx}(\sin(1/x)) = \cos(1/x) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) \] \[ \text{Denominador: } \frac{d}{dx}(1/x) = -\frac{1}{x^2} \] Aplicando a Regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(1/x)}{1/x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-\frac{\cos(1/x)}{x^2}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \cos(1/x) = \cos(0) = 1 \] Portanto, \( \lim_{x \to +\infty} x \sin(1/x) = 1 \). Resumindo: - Para (a), o limite é \( 0 \). - Para (b), o limite é \( 1 \).