Para resolver os limites apresentados, vamos analisar cada um deles e aplicar a Regra de L'Hôpital quando necessário. (a) \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x - x^2}{2x^2}\) Quando substituímos \(x = 0\), obtemos uma indeterminação do tipo \(\frac{0}{0}\). Portanto, aplicamos a Regra de L'Hôpital: 1ª aplicação: Derivando o numerador e o denominador: \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - 2x}{4x} \quad (\text{ainda } \frac{0}{0}) \] 2ª aplicação: Derivando novamente: \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 2}{4} = \frac{1 - 2}{4} = -\frac{1}{4} \] (b) \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x - 1}{x^2}\) Substituindo \(x = 0\), obtemos \(\frac{0}{0}\). Aplicamos a Regra de L'Hôpital: 1ª aplicação: \[ \lim_{x \to 0} \frac{-2\cos x \sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(2x)}{2x} \quad (\text{ainda } \frac{0}{0}) \] 2ª aplicação: \[ \lim_{x \to 0} \frac{-2\cos(2x)}{2} = -\cos(0) = -1 \] (c) \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 3e^{3x}}{e^{3x}}\) Dividindo todos os termos por \(e^{3x}\): \[ \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x^2}{e^{3x}} + 3\right) \] O primeiro termo tende a \(0\) (pois \(e^{3x}\) cresce mais rápido que \(x^2\)), então: \[ \lim_{x \to +\infty} \left(0 + 3\right) = 3 \] (d) \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}}{x^3}\) Substituindo \(x = 0\), obtemos \(\frac{0}{0}\). Aplicamos a Regra de L'Hôpital: 1ª aplicação: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x} - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{3x^2} \quad (\text{ainda } \frac{0}{0}) \] 2ª aplicação: \[ \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{(1+x)^2} - 1 - x}{6x} \quad (\text{ainda } \frac{0}{0}) \] 3ª aplicação: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{(1+x)^3} - 1}{6} = \frac{2 - 1}{6} = \frac{1}{6} \] Resumindo as respostas: (a) \(-\frac{1}{4}\) (b) \(-1\) (c) \(3\) (d) \(\frac{1}{6}\) Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!