Cálculo 1 - Máximo e Míminos

p

Vc monta duas equações a de perimetro e de área, depois relaciona e faz as derivadas parciais e por fim iguala a zero.

Nesse exercício vamos estudar minimização.

O volume da caixa deve ser fixo. Tomemos os tamanhos das arestas como $b,b,h$:

$$b^2h=2500$$

De forma que temos a expressão para a altura da caixa:

$$h=\dfrac{2500}{b^2}$$

Para a área da base, temos:

$$A_B=b^2$$

E para a área lateral:

$$A_L=4bh$$

Para o custo total:

$$C(b,h)=1200A_B+980A_L=1200b^2+3920bh$$

Mas já calculamos a expressão para a altura:

$$C(b)=1200b^2+\dfrac{9800000}{b}$$

Para minimizar o custo vamos anular a derivada:

$$C’(b)=0=2400b-\dfrac{9800000}{b^2}$$

$$24b^3=98000$$

Temos, então as dimensões da caixa:

$$\boxed{b\approx15,98\ m}$$

$$\boxed{h\approx9,79\ m}$$