matemática finaceira

1. F = P (1+i)^n
   Título 1
   P = 15.000;
   i = 30% a.a.;
   n = 1ano;
   F' = ?
   
   F' = 15.000 (1+0,3)^1
   F' = 15.000 * 1,3
   F' = 19.500
   Título 2
   P = 25.000;
   i = 30% a.a. = 2,2104% a.m.;
   n = 12meses;
   F'' = ?
   
   F'' = 25.000 (1+0,0221)^12
   F'' = 25.000 * 1,2993
   F'' = 32.498,26
   
   
2. Título 3
   F = F'+F'' = 19.500 + 32.498,26 = 51.998,25; 
   i = 2,2104% a.m.;
   n = 6meses
   P = ?
   P = F / (1+i)^n
   
   P = 51.998,25 / (1 + 0,0221)^6
   P = 51.998,25 / 1,1401
   P = 45.606,67

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nossos conhecimentos sobre Matemática Financeira, em especial, admitiremos a taxa de juros em questão é composta, e utilizaremos os conceitos de Desconto Composto. Para tanto, considerando o desconto por dentro, faremos uso da seguinte equação:

\(PV=\dfrac{FV}{(1+i)^n },\)

em que \(PV\) é o valor atual do título; \(FV\) o valor futuro;  e \(i\) a taxa de juros.

No problema em questão, a taxa de é de \(\text{30 % a.a.}\), porem os vencimentos não são multiplos inteiros de anos. Visto isso, é necessário encontrar uma taxa mensal equivalente (\(i_{\text{mensal}}\)):

\(\begin{align} i_{\text{mensal}}&=(1+i_{\text{anual}})^{\frac{1}{12}}-1 \\&=(1+0,3)^{\frac{1}{12}}-1 \\&=(1,3)^{\frac{1}{12}}-1 \\&=1,0221-1 \\&=0,0221 \\&=2,21\text{ % a.m.} \end{align}\)

Daí, utilizando a equação citada, calcula-se os valores atuais dos títulos \(1\) e \(2\) (\(PV_1\) e \(PV_2\), respectivamente):

\( \begin{align} PV_1&=\dfrac{\text{R}$\text{ }15.000,00}{(1+0,0221)^{12}} \\&=\dfrac{\text{R}$\text{ }15.000,00}{(1,0221)^{12}} \\&=\text{R}$\text{ }11.539,06 \end{align}\)

\( \begin{align} PV_2&=\dfrac{\text{R}$\text{ }25.000,00}{(1+0,0221)^{18}} \\&=\dfrac{\text{R}$\text{ }25.000,00}{(1,0221)^{18}} \\&=\text{R}$\text{ }16.867,82\end{align}\)

Assim, calcula-se o valor atual do novo título (\(PV_3\)) através da soma dos valores atuais dos dois que foram trocados:

\(\begin{align} PV_3&=PV_1+PV_2 \\&=\text{R}$\text{ }11.539,06+\text{R}$\text{ }16.867,82 \\&=\text{R}$\text{ }28.406,88 \end{align}\)

Finalmente, isolando o \(FV\) e considerando \(n=\text{6 meses}\), calcula-se o valor futuro do novo título:

\(\begin{align} FV_3&=PV_3\cdot(1+i)^n \\&=\text{R}$\text{ } 28.408,88\cdot (1+0,0221)^6 \\&=\text{R}$\text{ } 28.408,88\cdot (1,0221)^6 \\&=\text{R}$\text{ } 32.390,26 \end{align}\)

Portanto, o valor futuro do novo título é de \(\boxed{\text{R}$\text{ } 32.390,26}\).