Como calcular?

(2) Solução

Suponha que \(\lambda\) é um autovalor de A e seja x um autovalor de A associado com \(\lambda\).

Pelo Teorama em que fala de uma matriz quadrada com autovalor \(\lambda\) e autovetor  associado x, pelo item (a),

x é um autovetor de A² correspondente ao autovalor \(\lambda\)² e portanto A²x = \(\lambda\)²x. Como A² = A temos que Ax = \(\lambda\)²x

Como x é um autovetor de A associado com \(\lambda\) temos que Ax = \(\lambda\)x.

Portanto, \(\lambda\)²x = \(\lambda\)x \(\Rightarrow\)( \(\lambda\)²-\(\lambda\))x = 0. Como x é um autovetor de A temos que x \(\neq\) 0

Então  \(\lambda\)²-\(\lambda\)= 0 \(\Rightarrow\) \(\lambda\)(\(\lambda\)-1) = 0 e logo \(\lambda\)= 0 ou \(\lambda\)= 1 são os autovalores de A.