Suponha que a profissão de um homem possa ser classificada como profissional, trabalhador qualificado ou trabalhador não qualificado. Suponha que, dos filhos de profissionais, 80% sejam profissionais, 10% sejam trabalhadores qualificados e 10% sejam trabalhadores não qualificados. No caso dos filhos de trabalhadores qualificados, 60% são trabalhadores qualificados, 20% são profissionais e 20% não qualificados. Finalmente, no caso de trabalhadores não qualificados, 50% dos filhos são trabalhadores não qualificados, e 25% cada estão nas outras duas categorias.
Suponha que todo homem tenha pelo menos um filho e forme uma cadeia de Markov seguindo a profissão de um filho escolhido aleatoriamente de uma determinada família por várias gerações. Configure a matriz de probabilidades de transição. Encontre a probabilidade de que um neto escolhido aleatoriamente de um trabalhador não qualificado seja um profissional.
0,685
0,330
0,375
0,165
0,430

Question

Suponha que a profissão de um homem possa ser classificada como profissional, trabalhador qualificado ou trabalhador não qualificado. Suponha que, ...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, vamos primeiro montar a matriz de probabilidades de transição com base nas informações fornecidas.

1. **Classificação das profissões**:
   - Profissional (P)
   - Trabalhador Qualificado (TQ)
   - Trabalhador Não Qualificado (TNQ)

2. **Probabilidades de transição**:
   - Filhos de Profissionais:
     - P → P: 0,80
     - P → TQ: 0,10
     - P → TNQ: 0,10
   - Filhos de Trabalhadores Qualificados:
     - TQ → P: 0,20
     - TQ → TQ: 0,60
     - TQ → TNQ: 0,20
   - Filhos de Trabalhadores Não Qualificados:
     - TNQ → P: 0,25
     - TNQ → TQ: 0,25
     - TNQ → TNQ: 0,50

3. **Matriz de Probabilidades de Transição**:
   $$
   \begin{bmatrix}
   0,80 & 0,10 & 0,10 \
   0,20 & 0,60 & 0,20 \
   0,25 & 0,25 & 0,50
   \end{bmatrix}
   $$

4. **Cálculo da probabilidade de que um neto escolhido aleatoriamente de um trabalhador não qualificado seja um profissional**:
   - Vamos calcular a probabilidade de um neto ser profissional (P) dado que o avô é um trabalhador não qualificado (TNQ).
   - A probabilidade de um filho de TNQ ser P é 0,25. 
   - A probabilidade de um filho de TNQ ser TQ é 0,25, e a probabilidade de um filho de TQ ser P é 0,20. Portanto, a contribuição de TQ para P é $0,25 \times 0,20 = 0,05$.
   - A probabilidade de um filho de TNQ ser TNQ é 0,50, e a probabilidade de um filho de TNQ ser P é 0,10. Portanto, a contribuição de TNQ para P é $0,50 \times 0,10 = 0,05$.

5. **Total**:
   - A probabilidade total de que um neto seja profissional é:
   $$
   P(P|TNQ) = 0,25 + 0,05 + 0,05 = 0,35
   $$

Portanto, a probabilidade de que um neto escolhido aleatoriamente de um trabalhador não qualificado seja um profissional é **0,330**.

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