Se A é matriz de ordem n x n tal que ai,j = {i + j, i = j 0, i ≠ j, i = 1, 2, ... , n e j = 1, 2, ... , n, então det (A) = n!.

Para resolver a questão sobre a matriz \( A \) de ordem \( n \times n \) onde \( a_{i,j} = i + j \) se \( i = j \) e \( a_{i,j} = 0 \) se \( i \neq j \), podemos observar que a matriz \( A \) é uma matriz diagonal com elementos \( a_{i,i} = 2i \) na diagonal principal e zeros em todas as outras posições. A matriz \( A \) pode ser escrita como: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 4 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 6 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2n \end{pmatrix} \] O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal. Portanto, temos: \[ \text{det}(A) = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) = 2^n \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n) = 2^n \cdot n! \] Assim, a afirmação de que \( \text{det}(A) = n! \) não é correta, a menos que haja uma normalização ou condição adicional que não foi mencionada. O determinante correto é \( 2^n \cdot n! \).