Integrais Duplas

como os lados medem a então a integral de voluma sera



então a coordenada do x do centro de massa sera




é só resolver as integrais.
por simetria da figura concluímos que y tem o mesmo valor

Para calcular a massa nesse caso calcularemos a integral abaixo com os limites de integração a e dividiremos o seu resultado por dois, visto que a área que vamos integrar é um quadrado de lado a e o que queremos é a área de um triangulo:

\(m = \frac{1}{2}\cdot\int_a^a\int_a^aK(x^2+y^2)dxdy\\ m = \frac{K}{2}\cdot\int_a^a (\frac{x^3}{3}+xy^2) \mid_ady\\ m = \frac{K}{2}\cdot\int_a^a(\frac{a^3}{3}+ay^2) dy\\ m = \frac{K}{2}\cdot(\frac{a^3y}{3}+\frac{ay^3}{3}) \mid_a\\ m = \frac{K}{2}(\frac{a^4}{3}+\frac{a^4}{3})\\ m = \frac{Ka^4}{3}\)