Integrais Triplas

Comecei a estudar isso hoje, tambem tenho duvidas porque videos aulas as vezes nao ensinam muito bem

Se temos uma fun¸c˜ao (bem comportada, como todas as fun¸c˜oes do c´alculo) f : R → R, onde R ´e uma regi˜ao do R 3 (ou seja, f ´e uma fun¸c˜ao de trˆes vari´aveis), podemos calcular a integral tripla de f na regi˜ao R. Novamente, a id´eia ´e particionar R em “pedacinhos”, que agora ser˜ao pequenos volumes ∆VI , onde I indexa os v´arios pedacinhos. Tendo uma parti¸c˜ao, podemos definir somas de Riemann de f subordinada a essa parti¸c˜ao (da mesma forma que para integrais definidas e para integrais duplas) S (f, R) = X I f (pI ) ∆VI , onde pI ´e um ponto no “pedacinho” correspondente da parti¸c˜ao. Novamente podemos falar de somas inferiores, somas superiores e as mesmas condi¸c˜oes de “bom comportamento” da f que permitiam definir a integral dupla s˜ao suficientes para mostrar o resultado an´alogo para integral tripla: a integral tripla de f na regi˜ao R, denotada Z Z Z R f dV, ´e o limite das somas de Riemann correspondentes, quando as parti¸c˜oes s˜ao tomadas arbitrariamente finas. Para as aplica¸c˜oes do tipo c´alculo de valor m´edio de fun¸c˜oes, a interpreta¸c˜ao segue exatamente a mesma das integrais duplas: estamos olhando o valor da fun¸c˜ao em um regi˜ao pequena (se a fun¸c˜ao for cont´ınua e a regi˜ao realmente pequena, este valor depende muito pouco do ponto espec´ıfico escolhido), multiplicando pelo volume do pedacinho (antes era a ´area, mas que diferen¸ca faz?) e somando todas estas contribui¸c˜oes. Se queremos calcular uma m´edia, precisamos depois dividir pela soma dos pequenos volumes, que d´a o volume total da regi˜ao. Este ´ultimo ponto lembra outra aplica¸c˜ao simples da integral tripla: do mesmo modo que ao integrar a fun¸c˜ao constante igual a 1 em uma regi˜ao do plano estamos de fato calculando a ´area desta regi˜ao (ou seja, a integral dupla tamb´em serve para calcular ´areas), a integral tripla da fun¸c˜ao constante igual a 1 em uma regi˜ao do espa¸co calcula o volume desta regi˜ao: Z Z Z R dV = V (R).