Calcular limite ao infinito. Limites pela direita e pela esquerda.

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Neste exercício, serão calculados os seguintes limites:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \lim_{x \to +\infty} {2x \over \sqrt{x^2+4}} &(I)\\ \lim_{x \to -\infty} {2x \over \sqrt{x^2+4}} & (II) \end{matrix} \right.\)

O limite \((I)\) representa o limite pela direita e o limite \((II)\), pela esquerda.

Começando pelo limite \((I)\), o resultado é:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to +\infty} {2x \over \sqrt{x^2+4}} = \lim_{x \to +\infty} {2x /x \over (\sqrt{x^2+4})/x}\)

                                 \(= \lim_{x \to +\infty} {2 \over \sqrt{x^2/x^2+4/x^2}}\)

                                 \(= \lim_{x \to +\infty} {2 \over \sqrt{1+4/x^2}}\)

                                 \(={2 \over \sqrt{1+0}}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \lim_{x \to +\infty} {2x \over \sqrt{x^2+4}} = +2 $}\)

Agora, vamos para o limite \((II)\).

\(\Longrightarrow \lim_{x \to -\infty} {2x \over \sqrt{x^2+4}} \)

Substituindo uma outra variável \(x=-y\) no limite \((II)\), o resultado é:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to -\infty} {2x \over \sqrt{x^2+4}} = \lim_{-y \to -\infty} {2\cdot (-y) \over \sqrt{(-y)^2+4}} \)

                                 \(= \lim_{y \to +\infty} {-2 y \over \sqrt{y^2+4}} \)

                                 \(= \lim_{y \to +\infty} {-2y/y \over \sqrt{y^2/y^2+4/y^2}} \)

                                 \(= \lim_{y \to +\infty} {-2 \over \sqrt{1+4/y^2}} \)

                                 \(= {-2 \over \sqrt{1+0}} \)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \lim_{x \to -\infty} {2x \over \sqrt{x^2+4}} = -2 $}\)

Concluindo, o limite pela direita é igual a \(\fbox {$ +2 $}\). E o limite pela esquerda é igual a \(\fbox {$ -2 $}\).