7. Para as mesmas condições do exercício anterior, qual será a probabilidade de durar entre 140000 km e 165000 km.

As condições do exercício anterior são descritas da seguinte maneira: “Uma fábrica de automóveis sabe que o motor de sua fabricação tem uma duração com distribuição normal com média de e desvio-padrão de ”.

Logo, trata-se de um problema de distribuição normal. Para resolvê-lo, precisamos primeiro entender suas características e saber como usar suas propriedades na questão. A distribuição normal também é conhecida como distribuição gaussiana e sua principal característica é a sua curva normal. A curva da distribuição normal é uma curva simétrica com um formato parecido com um sino, como representado na figura 1 abaixo:

Figura 1 – curva da distribuição normal.

Percebe-se pelo gráfico que toda a distribuição se dá em torno da sua média, onde é seu ponto de “frequência máxima”.

Nesse tipo de distribuição a variável aleatóriapode assumir qualquer valor real e a área total embaixo da curva é igual a 1. Ou seja, esse valor é a probabilidade da variável aleatória assumir qualquer valor real. Além disso, como a curva é simétrica, a probabilidade de a variável ter valores maiores que a média é igual à probabilidade de ter valores menores que a média (ambas têm a mesma probabilidade de 0,5). Em outras palavras:

Para calcular a probabilidade de uma variável aleatória assumir um valor em um intervalo específico basta calcular a área da curva naquele intervalo. Ou seja:

Onde é o desvio padrão da distribuição. Entretanto, é muito trabalhoso calcular essa integral. Para isso, foi criado um meio de padronizar todas as distribuições normais em uma única distribuição normal de média e desvio padrão . Para isso, basta chamarmos de a nova variável e ela é dada por:

Logo, temos que:

E podemos escrever a probabilidade de estar em um intervalo da seguinte maneira:

Assim, foi feita uma tabela com todos os valores de probabilidade de assumir um valor menor que
para serem consultados quando necessário:

Tabela 1 – Distribuição normal padrão para . As linhas e colunas representam a primeira e segunda casa de , respectivamente. Por exemplo, 0,9131 (circulado em vermelho).

Na questão, temos que a média é e o desvio-padrão é . Desejamos saber qual a probabilidade de estar entre . Para isso precisamos achar os valores correspondentes de e na variável :

Logo,

Agora, basta olharmos na tabela :

Figura 2 – valores encontrados na tabela para .

Portanto,

E para calcularmos a probabilidade de Z estar entre os dois, basta fazer:

Pois a probabilidade nada mais é que área no intervalo especificado, como mostrado na figura 3 abaixo:

Figura 3 – Relação entre a probabilidade de um intervalo e sua área.

Portanto, a probabilidade de o motor durar entre 140000 km e 165000 km é de

Referências:

Figura 1 – https://www.inf.ufsc.br/~andre.zibetti/probabilidade/normal.html;

Tabela 1 – http://livrozilla.com/doc/750919/distribui%C3%A7%C3%A3o-normal-padr%C3%A3o-acumulada-%3D-%E2%89%A4-%3D-%CF%86-du-zzpz-e-2-1;

Figura 2 – Autoria própria;

Figura 3 – Autoria própria.

. Uma indústria química mediu a concentração de um poluente em água liberada e as medições seguem uma distribuição normal, com média de 8 ppm e desvio padrão de 1,5 ppm. Qual a chance de que, num dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 10 ppm?