Para verificar quais dos processos apresentados podem ser usados para encontrar a raiz da equação \(x^2 + 5x - 1 = 0\) no intervalo \([0, 0.5]\), precisamos analisar cada uma das funções iterativas propostas. 1. (a) \(x_{k+1} = \frac{1}{x_k + 5}\): - Vamos verificar se essa função é uma função de contração no intervalo. Para \(x_k\) em \([0, 0.5]\), temos \(x_k + 5\) variando de \(5\) a \(5.5\). Portanto, \(x_{k+1}\) varia de \(\frac{1}{5.5}\) a \(\frac{1}{5}\), que está em torno de \(0.18\) a \(0.2\). Essa função pode convergir, mas precisamos verificar a condição de contração. 2. (b) \(x_{k+1} = \frac{1}{5 - x_k}\): - Para \(x_k\) em \([0, 0.5]\), \(5 - x_k\) varia de \(4.5\) a \(5\). Assim, \(x_{k+1}\) varia de \(\frac{1}{5}\) a \(\frac{1}{4.5}\), que é aproximadamente \(0.2\) a \(0.222\). Essa função também pode convergir, mas novamente precisamos verificar a condição de contração. 3. (c) \(x_{k+1} = \sqrt{1 - 5x_k}\): - Para \(x_k\) em \([0, 0.5]\), \(5x_k\) varia de \(0\) a \(2.5\), então \(1 - 5x_k\) varia de \(1\) a \(-1.5\). A raiz quadrada não é definida para números negativos, então essa função não é válida no intervalo dado. Analisando as opções, as funções (a) e (b) podem ser utilizadas para encontrar a raiz, enquanto a função (c) não é válida. Portanto, as opções que podem ser usadas com sucesso para obter a raiz são: (a) e (b).