Para encontrar a raiz real da equação \(x^3 - 2x - 17 = 0\) usando os métodos de Newton-Raphson e da Secante, vamos seguir os passos para cada método. ### Método de Newton-Raphson 1. Escolha uma função: \(f(x) = x^3 - 2x - 17\) 2. Derivada da função: \(f'(x) = 3x^2 - 2\) 3. Escolha um ponto inicial: Vamos começar com \(x_0 = 3\) (um palpite próximo da raiz). 4. Iteração: A fórmula do método é: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] - Iteração 1: \[ f(3) = 3^3 - 2 \cdot 3 - 17 = 27 - 6 - 17 = 4 \] \[ f'(3) = 3 \cdot 3^2 - 2 = 27 - 2 = 25 \] \[ x_1 = 3 - \frac{4}{25} = 3 - 0.16 = 2.84 \] - Iteração 2: \[ f(2.84) = (2.84)^3 - 2 \cdot 2.84 - 17 \approx -0.079 \] \[ f'(2.84) = 3 \cdot (2.84)^2 - 2 \approx 24.1 \] \[ x_2 = 2.84 - \frac{-0.079}{24.1} \approx 2.84 + 0.0033 \approx 2.8433 \] - Iteração 3: \[ f(2.8433) \approx 0.0001 \] \[ f'(2.8433) \approx 24.1 \] \[ x_3 \approx 2.8433 - \frac{0.0001}{24.1} \approx 2.8433 - 0.0000041 \approx 2.8433 \] Após algumas iterações, a raiz é aproximadamente \(x \approx 2.84\). ### Método da Secante 1. Escolha dois pontos iniciais: Vamos usar \(x_0 = 2.5\) e \(x_1 = 3\). 2. Fórmula do método: \[ x_{n+1} = x_n - f(x_n) \cdot \frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})} \] - Iteração 1: \[ f(2.5) = (2.5)^3 - 2 \cdot 2.5 - 17 \approx -10.375 \] \[ f(3) = 4 \] \[ x_2 = 3 - 4 \cdot \frac{3 - 2.5}{4 - (-10.375)} \approx 3 - 4 \cdot \frac{0.5}{14.375} \approx 3 - 0.139 \approx 2.861 \] - Iteração 2: \[ f(2.861) \approx -0.079 \] \[ x_3 = 2.861 - (-0.079) \cdot \frac{2.861 - 3}{-0.079 - 4} \approx 2.861 + 0.0001 \approx 2.861 \] Após algumas iterações, a raiz é aproximadamente \(x \approx 2.84\). ### Resumo Usando ambos os métodos, encontramos que a raiz real da equação \(x^3 - 2x - 17 = 0\) é aproximadamente \(x \approx 2.84\) até duas casas decimais.