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Noção de Erros

Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos, base
decimal e com acumulador de precisão dupla. Dados os números:
x = 0.7237x104 y = 0.2145 x10-3 z = 0.2585 x101
efetue as seguintes operações e obtenha o erro relativo no resultado, supondo
que x, y e z estão exatamente representados:
a) x + y +z b) x – y – z c) x/y d) (xy)/z e) x(y/z)


5 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

a)

Para realizar a operação, vamos começar mudando os expoentes de \(y\) e \(z\) para o maior expoente entre os números da operação. Como o maior expoente é 4, temos \(x = 0,7237 \cdot {10^4}\), \(y = 0,00000002145 \cdot {10^4}\) e \(z = 0,0002585 \cdot {10^4}\). Como esses números estão exatamente representados, podemos utilizá-los com a precisão que quisermos.

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Assim, realizando a operação pedida:


\[\eqalign{ x + y + z &= 0,7237 \cdot {10^4} + 0,00000002145 \cdot {10^4} + 0,0002585 \cdot {10^4}\cr&= \left( {0,7237 + 0,00000002145 + 0,0002585} \right) \cdot {10^4}\cr&= 0,72395852145 \cdot {10^4} }\]

---

Como o sistema é de precisão dupla e possui 4 dígitos, vamos truncar na oitava casa decimal. Logo, temos que \(x + y + z = 0,72395852 \cdot {10^4}\).

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Para calcular o erro relativo (\(ER\)) do resultado, vamos calcular o módulo da diferença entre o valor real e o arredondado da operação dividida pelo valor real. Assim, temos:


\[\eqalign{ ER = \left| {\dfrac{{7239,5852145 - 7239,5852}}{{7239,5852145}}} \right| \cr \cong 2 \cdot {10^{ - 9}} }\]

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Portanto, temos que \(\boxed{x + y + z = 0,72395852 \cdot {{10}^4}}\) e \(\boxed{ER \cong 2 \cdot {{10}^{ - 9}}}\).

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b)

Analogamente ao item anterior, temos:


\[\eqalign{ x - y - z &= 0,7237 \cdot {10^4} - 0,00000002145 \cdot {10^4} - 0,0002585 \cdot {10^4}\cr&= \left( {0,7237 - 0,00000002145 - 0,0002585} \right) \cdot {10^4}\cr&= 0,72344147855 \cdot {10^4} }\]

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Truncando na oitava casa, temos \(x - y - z = 0,72344149 \cdot {10^4}\). E, para o erro relativo:


\[\eqalign{ ER = \left| {\dfrac{{7234,4147855 - 7234,4149}}{{7234,4147855}}} \right| \cr \cong 1,58 \cdot {10^{ - 8}} }\]

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Portanto, temos que \(\boxed{x - y - z = 0,72344149 \cdot {{10}^4}}\) e \(\boxed{ER \cong 1,58 \cdot {{10}^{ - 8}}}\).

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c)

Analogamente ao item anterior, temos:


\[\eqalign{ \dfrac{x}{y} &= \dfrac{{0,7237 \cdot {{10}^4}}}{{0,00000002145 \cdot {{10}^4}}}\cr&= 33.738.927,7389 }\]

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Como a precisão é dupla, vamos escrever o resultado com oito casas decimais. Logo, temos \(\dfrac{x}{y} = 0,33738927 \cdot {10^8}\). E, para o erro relativo:


\[\eqalign{ ER = \left| {\dfrac{{33.738.927,7389 - 0,33738927 \cdot {{10}^8}}}{{33.738.927,7389}}} \right| \cr \cong 2,19 \cdot {10^{ - 8}} }\]

------

Portanto, temos que \(\boxed{\dfrac{x}{y} = 0,33738927 \cdot {{10}^8}}\) e \(\boxed{ER \cong 2,19 \cdot {{10}^{ - 8}}}\).

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d)

Analogamente ao item anterior, temos:


\[\eqalign{ \dfrac{{(x \cdot y)}}{z} &= \dfrac{{0,7237 \cdot {{10}^4} \cdot 0,00000002145 \cdot {{10}^4}}}{{0,0002585 \cdot {{10}^4}}}\cr&= 0,600517021 }\]

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Truncando na oitava casa decimal, temos \(\dfrac{{(x \cdot y)}}{z} = 0,60051702\). E, para o erro relativo:


\[\eqalign{ ER = \left| {\dfrac{{0,600517021 - 0,60051702}}{{0,600517021}}} \right| \cr \cong 1,67 \cdot {10^{ - 9}} }\]

------

Portanto, temos que \(\boxed{\dfrac{{(x \cdot y)}}{z} = 0,60051702}\) e \(\boxed{ER \cong 1,67 \cdot {{10}^{ - 9}}}\).

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e)

Analogamente ao item anterior, temos:


\[\eqalign{ x \cdot \left( {\dfrac{y}{z}} \right) &= 0,7237 \cdot {10^4} \cdot \left( {\dfrac{{0,00000002145 \cdot {{10}^4}}}{{0,0002585 \cdot {{10}^4}}}} \right)\cr&= 0,600517021 }\]

------

Truncando na oitava casa decimal, temos \(x \cdot \left( {\dfrac{y}{z}} \right) = 0,60051702\). E, para o erro relativo:


\[\eqalign{ ER = \left| {\dfrac{{0,600517021 - 0,60051702}}{{0,600517021}}} \right| \cr \cong 1,67 \cdot {10^{ - 9}} }\]

------

Portanto, temos que \(\boxed{x \cdot \left( {\dfrac{y}{z}} \right) = 0,60051702}\) e \(\boxed{ER \cong 1,67 \cdot {{10}^{ - 9}}}\).

a)

Para realizar a operação, vamos começar mudando os expoentes de \(y\) e \(z\) para o maior expoente entre os números da operação. Como o maior expoente é 4, temos \(x = 0,7237 \cdot {10^4}\), \(y = 0,00000002145 \cdot {10^4}\) e \(z = 0,0002585 \cdot {10^4}\). Como esses números estão exatamente representados, podemos utilizá-los com a precisão que quisermos.

---

Assim, realizando a operação pedida:


\[\eqalign{ x + y + z &= 0,7237 \cdot {10^4} + 0,00000002145 \cdot {10^4} + 0,0002585 \cdot {10^4}\cr&= \left( {0,7237 + 0,00000002145 + 0,0002585} \right) \cdot {10^4}\cr&= 0,72395852145 \cdot {10^4} }\]

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Como o sistema é de precisão dupla e possui 4 dígitos, vamos truncar na oitava casa decimal. Logo, temos que \(x + y + z = 0,72395852 \cdot {10^4}\).

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Para calcular o erro relativo (\(ER\)) do resultado, vamos calcular o módulo da diferença entre o valor real e o arredondado da operação dividida pelo valor real. Assim, temos:


\[\eqalign{ ER = \left| {\dfrac{{7239,5852145 - 7239,5852}}{{7239,5852145}}} \right| \cr \cong 2 \cdot {10^{ - 9}} }\]

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Portanto, temos que \(\boxed{x + y + z = 0,72395852 \cdot {{10}^4}}\) e \(\boxed{ER \cong 2 \cdot {{10}^{ - 9}}}\).

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b)

Analogamente ao item anterior, temos:


\[\eqalign{ x - y - z &= 0,7237 \cdot {10^4} - 0,00000002145 \cdot {10^4} - 0,0002585 \cdot {10^4}\cr&= \left( {0,7237 - 0,00000002145 - 0,0002585} \right) \cdot {10^4}\cr&= 0,72344147855 \cdot {10^4} }\]

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Truncando na oitava casa, temos \(x - y - z = 0,72344149 \cdot {10^4}\). E, para o erro relativo:


\[\eqalign{ ER = \left| {\dfrac{{7234,4147855 - 7234,4149}}{{7234,4147855}}} \right| \cr \cong 1,58 \cdot {10^{ - 8}} }\]

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Portanto, temos que \(\boxed{x - y - z = 0,72344149 \cdot {{10}^4}}\) e \(\boxed{ER \cong 1,58 \cdot {{10}^{ - 8}}}\).

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c)

Analogamente ao item anterior, temos:


\[\eqalign{ \dfrac{x}{y} &= \dfrac{{0,7237 \cdot {{10}^4}}}{{0,00000002145 \cdot {{10}^4}}}\cr&= 33.738.927,7389 }\]

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Como a precisão é dupla, vamos escrever o resultado com oito casas decimais. Logo, temos \(\dfrac{x}{y} = 0,33738927 \cdot {10^8}\). E, para o erro relativo:


\[\eqalign{ ER = \left| {\dfrac{{33.738.927,7389 - 0,33738927 \cdot {{10}^8}}}{{33.738.927,7389}}} \right| \cr \cong 2,19 \cdot {10^{ - 8}} }\]

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Portanto, temos que \(\boxed{\dfrac{x}{y} = 0,33738927 \cdot {{10}^8}}\) e \(\boxed{ER \cong 2,19 \cdot {{10}^{ - 8}}}\).

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d)

Analogamente ao item anterior, temos:


\[\eqalign{ \dfrac{{(x \cdot y)}}{z} &= \dfrac{{0,7237 \cdot {{10}^4} \cdot 0,00000002145 \cdot {{10}^4}}}{{0,0002585 \cdot {{10}^4}}}\cr&= 0,600517021 }\]

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Truncando na oitava casa decimal, temos \(\dfrac{{(x \cdot y)}}{z} = 0,60051702\). E, para o erro relativo:


\[\eqalign{ ER = \left| {\dfrac{{0,600517021 - 0,60051702}}{{0,600517021}}} \right| \cr \cong 1,67 \cdot {10^{ - 9}} }\]

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Portanto, temos que \(\boxed{\dfrac{{(x \cdot y)}}{z} = 0,60051702}\) e \(\boxed{ER \cong 1,67 \cdot {{10}^{ - 9}}}\).

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e)

Analogamente ao item anterior, temos:


\[\eqalign{ x \cdot \left( {\dfrac{y}{z}} \right) &= 0,7237 \cdot {10^4} \cdot \left( {\dfrac{{0,00000002145 \cdot {{10}^4}}}{{0,0002585 \cdot {{10}^4}}}} \right)\cr&= 0,600517021 }\]

------

Truncando na oitava casa decimal, temos \(x \cdot \left( {\dfrac{y}{z}} \right) = 0,60051702\). E, para o erro relativo:


\[\eqalign{ ER = \left| {\dfrac{{0,600517021 - 0,60051702}}{{0,600517021}}} \right| \cr \cong 1,67 \cdot {10^{ - 9}} }\]

------

Portanto, temos que \(\boxed{x \cdot \left( {\dfrac{y}{z}} \right) = 0,60051702}\) e \(\boxed{ER \cong 1,67 \cdot {{10}^{ - 9}}}\).

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Everton

Há mais de um mês

letra a) Erx+y+z=Eax+Eay+Eaz/x'+y'+z'

           Erx+y+z=(0,587145)/ (0,7237x10^4+0,0000x10^4+0,0002x10^4)=0,811008578x10^-4

Letra b) Erx-y-z+ Eax-Eay-Eaz/x'+y'+z'

          Erx-y-z=(-0,80560469)/(0,7237x10^4-0,0000x10^4-0,0002X10^4)=-0,80560469x10^-4

 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas