Rotação de Eixos - Geometria Analítica

Fiz primeiro no word e depois colei aqui, na penúltima linha a letra ó representa <=>, não sei como edita uma postagem aqui. 

Da equação da rotação de eixos, temos:

x'=xcosθ+ysenθ e y'=-xsenθ+ycosθ

Substituindo essas "novas" coordenadas de x e y na equação original teremos:

a(xcosθ+ysenθ)²+b(-xsenθ+ycosθ)²+c(xcosθ+ysenθ)(-xsenθ+ycosθ)+d(xcosθ+ysenθ)+e(-xsenθ+ycosθ)+f=0,

desenvolvendo e juntando os termos que contém xy, tem-se:

(2b.cosθ.senθ-2a.cosθ.senθ+c.cos²θ-c.sen²θ)xy

Como queremos eliminar esse termo, devemos ter:

2b.cosθ.senθ-2a.cosθ.senθ+c.cos²θ-c.sen²θ=0 =>

b.sen(2θ)-a.sen(2θ)+c(cos²θ-sen²θ)=0

Lembre-se que: 2senθcosθ=sen(2θ) e que cos²θ-sen²θ=cos(2θ), então fica:

(b-a)sen(2θ)+c.cos(2θ)=0 (*), dividindo tudo por c.cos(2θ)

neste caso, devemos ter cos(2θ)≠0, note que, se cos(2θ)=0 então sen(2θ)≠0, e, dessa forma, a igualdade (*) não se cumpre, a menos que tenhamos b=a (caso em que ainda vamos analisar).Continuando...

[(b-a)/c]tg(2θ)=-1 => tg(2θ)=-1.[c/(b-a)]=c/(a-b), assim:

Se a≠b o ângulo θ de rotação dos eixos será tal que:

2θ=arctg[c/(a-b)] => θ=(1/2)* arctg[c/(a-b)]

No caso em que a=b, repare que a tg(2θ) não está definido o que ocorre quando 2θ=π/2=> θ=π/4

Isso pode ser mostrado assim:

tg(2θ)=c/(b-a) ó cotg(2θ)=(b-a)/c, então fazendo b=a => cotg(2θ)=0 => 2θ= π/2=>θ=π/4. ▄

Ao rotacionarmos os eixos de um ângulo \(\theta\), obtemos as novas coordenadas em função das antigas:

\(x_1=x\ cos\ \theta+y\ sen\ \theta\\ y_1=-x\ sen\ \theta+y\ cos\ \theta\)

Escrevendo as coordenadas antigas em função das novas, temos:

\(x=x_1\ cos\ \theta-y_1\ sen\ \theta\\ y=x_1\ sen\ \theta+y_1\ cos\ \theta\)

Substituindo na equação dada, temos:

\(\begin{align} ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f&=0\\ a(x_1\ cos\ \theta-y_1\ sen\ \theta)^2+b(x_1\ sen\ \theta+y_1\ cos\ \theta)^2+c(x_1\ cos\ \theta-y_1\ sen\ \theta)(x_1\ sen\ \theta+y_1\ cos\ \theta)+d(x_1\ cos\ \theta-y_1\ sen\ \theta)+e(x_1\ sen\ \theta+y_1\ cos\ \theta)+f&=0\\ \end{align}\)

Expandido os binômios, temos:

\(\begin{align} a(x_1^2cos^2\theta-2x_1\ cos\ \theta\ y_1\ sen\ \theta+y_1^2\ sen^2\theta)&+\\ b(x_1^2sen^2\theta+2x_1\ sen\ \theta\ y_1\ cos\ \theta+y_1^2cos^2\theta)&+\\ c(x_1^2\ sen\ \theta\ cos\ \theta+x_1y_1\ cos^2\theta-y_1x_1\ sen^2\theta-y_1^2\ sen\ \theta\ cos\ \theta)&+\\ d(x_1\ cos\ \theta-y_1\ sen\ \theta)+e(x_1\ sen\ \theta+y_1\ cos\ \theta)&+f=0\\ \end{align}\)

Agrupando os termos de mesmo grau, temos:

\(\begin{align} x_1^2(a\ cos^2\theta+b\ sen^2\theta+c\ sen\ \theta\ cos\ \theta)&+\\ y_1^2(a\ sen^2\theta+b\ cos^2\theta-c\ sen\ \theta\ cos\ \theta)&+\\ x_1y_1\left[-2a\ cos\ \theta\ sen\ \theta+2b\ sen\ \theta\ cos\ \theta+c(cos^2\theta-sen^2\theta)\right]&+\\ x_1(d\ cos\ \theta+e\ sen\ \theta)&+\\ y_1(-d\ sen\ \theta+e\ cos\ \theta)+f&=0 \end{align}\)

Queremos eliminar o termo cruzado, então vamos o anular:

\(\left[-2a\ cos\ \theta\ sen\ \theta+2b\ sen\ \theta\ cos\ \theta+c(cos^2\theta-sen^2\theta)\right]=0\)

Lembrando as identidades de arco duplo:

\(cos\ 2\theta=cos^2\theta-sen^2\theta\\ sen\ 2\theta=2\ sen\ \theta\ cos\ \theta\)

Substituindo nos cálculos, temos:

\((b-a)\ sen\ 2\theta+c\ cos\ 2\theta=0\)

No caso em que \(a=b\Rightarrow b-a=0\), temos:

\(cos\ 2\theta=0\Rightarrow 2\theta={\pi\over2}\Rightarrow\theta={\pi\over4}\)

No caso em que \(a\neq b\Rightarrow b-a\neq 0\), dividindo por \(cos\ 2\theta\), temos:

\((b-a)\ tg\ 2\theta+c=0\Rightarrow tg\ 2\theta = {c\over a-b}\Rightarrow \theta={1\over2}arctg\left({c\over a-b}\right)\)

Demonstramos, portanto, que para eliminar o termo cruzado, basta-nos fazer uma rotação nos eixos de \(\theta\), de forma que:

\(\boxed{\theta = \left\lbrace\begin{align} {\pi\over4}&\ \ \ \ \ &a=b\\ {1\over2}arctg\left({c\over a-b}\right)&\ \ \ \ \ &a\neq b \end{align}\right.}\)