Calculo II - Verificar se é função

Para verficar se a função é solução da equação dada devemos descobrir a sua primeira e segunda derivada para substituir na equação.

Assim, 

dy/dx = 3C1e^3x - 4C2e^-4x

d²y/dx² = 9C1e^3x + 16C2e^-4x

Assim, substituindo os termos na equação temos:

9C1e^3x + 16C2e^-4x + 3C1e^3x - 4C2e^-4x - 12(C1e^3x+C2e^-4x ) = 0

Logo, y = C1e^3x+C2e^-4x é solução da equação  d²y/dx²+dy/dx - 12y=0

Muito obrigado, você da aula particular?

Para verificarmos se uma função é solução de uma equação diferencial, basta substituirmos a função na equação diferencial e verificar se isso a torna verdadeira:

\(\begin{align} D&={d^2y\over dx^2}+{dy\over dx} - 12y\\ &={d^2\over dx^2}\left(C_1e^{3x}+C_2e^{-4x}\right)+{d\over dx}\left(C_1e^{3x}+C_2e^{-4x}\right) - 12\left(C_1e^{3x}+C_2e^{-4x}\right)\\ &={d\over dx}\left(3C_1e^{3x}-4C_2e^{-4x}\right)+\left(3C_1e^{3x}-4C_2e^{-4x}\right) - 12\left(C_1e^{3x}+C_2e^{-4x}\right)\\ &=\left(9C_1e^{3x}+16C_2e^{-4x}\right)+\left(3C_1e^{3x}-4C_2e^{-4x}\right) - 12\left(C_1e^{3x}+C_2e^{-4x}\right)\\ &=0 \end{align}\)

Como o desenvolvimento do lado esquerdo da equação nos levou ao lado direito, temos que a função proposta é solução da equação diferencial dada.