Demonstrar que se u,v e w, são dois a dois ortogonais então: |u+v+w|^2 = |u|^2+|v|^2+|w|^2

Boa noite!

|u+v+w|^2=(u+v+w).(u+v+w)=u.u+u.v+u.w+v.u+v.v+v.w+w.u+w.v+w.w=

|u|^2+|v|^2+|w|^2+2(u.v+u.w+v.w)

Como os vetores são dois a dois ortogonais, então u.v = u.w = v.w = 0

Portanto: |u+v+w|^2=|u|^2+|v|^2+|w|^2

Espero ter ajudado!

Para demonstrarmos  que os vetores dois a dois são ortogonais, realizaremos os procedimentos abaixo:

\(|u+v+w|² =(u+v+w).(u+v+w) \\ |u+v+w|² = u.u + u.v + u.w + v.u + v.v + v.w + w.u + w.v + w.w \\ |u+v+w|² =u.u + 0 + 0 + 0 + v.v + 0 + 0 + 0 + w.w \\ |u+v+w|² = u.u + v.v + w.w \\ |u+v+w|² = |u|² + |v|² + |w|²\)

Portanto, os vetores dois a dois são ortogonais.