Mecânica da Partícula, me ajudem a resolver esse exercício.

A resposta da letra B está errada. O correto seria S(t) = -2t² + t³.

Para encontrar a equação da velocidade, você deve integrar a equação da aceleração. Como a velocidade inicial é zero, a constante de integração é nula:

v(t) = αt - βt²/2   (1)

A equação da posição é a integral indefinida da velocidade. A posição inicial também é nula, logo:

S(t) = αt²/2 - βt³/6   (2)

Sabemos que a partícula está na origem no instante t = 2s, então S(2) = 0. Substituindo t por 2 na equação 2, temos:

2α - 4β/3 = 0   (3)

Também sabemos que a velocidade média entre os instantes 0 e 1 é de -1m/s, ou seja, (S(1) - S(0))/(1 - 0) = -1m/s. Logo, temos outra relação:

α/2 - β/6 = -1   (4)

As equações 3 e 4 formam um sistema linear e sua solução é α = -4 e β = -6. Substituindo estes valores nas equações 1 e 2, temos as respostas das letras A e B.

Na letra C, basta aplicar a fórmula do deslocamento entre os instantes 0 e 4, isto é, S(4) - S(0) = 32m. Porém, a questão pede a distância percorrida e não o deslocamento. Quando isso é pedido, é necessário calcular a distância que a partícula percorreu no sentido oposto, quando sua velocidade era negativa, e somar essa distância com aquela percorrida no sentido positivo da trajetória, onde sua velocidade é positiva. Neste caso só foi coincidência, pois nem sempre a distância percorrida entre dois instantes é igual ao deslocamento entre esses instantes.

PAra esse exercício, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & a) \\ & A(t)=\alpha +\beta t \\ & a\text{ }=dv/dt\text{ } \\ & dv\text{ }=\text{ }a.dt~ \\ & dv=\left( \alpha +\beta t \right)dt \\ & v(t)-v(0)=\frac{\left( \alpha t+\beta {{t}^{2}} \right)}{2} \\ & v(t)=\frac{\left( -4t+3{{t}^{2}} \right)}{2} \\ & \\ & b) \\ & s=dv/dt~ \\ & s\left( t \right)\text{ }=\text{ }\alpha t{}^\text{2}/2\text{ }+\text{ }\beta t{}^\text{3}/6. \\ & s(t)=-2+{{t}^{3}} \\ & \\ & c) \\ & \alpha \text{ }=\text{ }-4\text{ }e\text{ }\beta \text{ }=\text{ }6 \\ & v\left( t \right)\text{ }=\text{ }-4t\text{ }+\text{ }3t{}^\text{2} \\ & \text{ }s\left( t \right)\text{ }=\text{ }-2t{}^\text{2}\text{ }+\text{ }t{}^\text{3} \\ & d=\frac{64}{3} \\ \end{align}\ \)