Para determinar a base \( S = \{v_1, v_2, v_3\} \) a partir da matriz de mudança de base de \( T \) para \( S \), precisamos aplicar a matriz à base \( T \). A matriz de mudança de base de \( T \) para \( S \) é dada por: \[ M = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \] E a base \( T \) é: \[ T = \{w_1, w_2, w_3\} = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\} \] Para encontrar os vetores \( v_1, v_2, v_3 \), multiplicamos a matriz \( M \) pelos vetores da base \( T \): 1. \( v_1 = M \cdot w_1 = M \cdot (1, 0, 0) = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \) 2. \( v_2 = M \cdot w_2 = M \cdot (0, 1, 0) = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \) 3. \( v_3 = M \cdot w_3 = M \cdot (0, 0, 1) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \) Portanto, a base \( S \) é: \[ S = \{(2, -1, 2), (1, 2, 3), (1, 1, 1)\} \]