Como calcular lim (sen^2(ax^2))/x^4 quando x->0

lim (sen²(ax²))/x⁴ quando x->0

Primeiro, vou reescrever a expressão de uma forma um pouco diferente.

(sen²(ax²))/x⁴ = ((sen(ax²))/x²)² 

Agora, podemos calcular o limite só do que está dentro do que está sendo elevado ao quadrado (é um teorema que nos permite fazer isso).

Agora, para simplificar um pouco a nossa vida, vamos chamar x² de y.

y = x²

lim ((sen(ax²))/x²)² quando x tende a 0 

(lim (sen(ay))/y)² quando y tende a 0

Esse limite nos lembra muito o sen x / x quando x tende a 0 que é 1. Mas tem o a multiplicando o y, o que nos faz ser um pouco mais detalhistas.

Vamos escrever o ay como uma soma.

y + y + y + y + y ... Isso tudo a vezes = ay

Agora, lembrando daquela relação sen (c+d) = sen c cos d + cos c sen d. Temos resumidamente  asen(y) = sen(ay). Isso só vale porque y está tendendo a 0. Recomendo vc expandir essa forma, caso não tenha ficado claro.

Por fim, temos (lim (sen(ay))/y)² = a² quando x tende a 0

Vc tbm poderia usar L'Hospital no começo, seria bem mais simples. Mas existe de certa forma um erro em calcular limites que envolvam sen x / x quando x -> 0 usando L'Hospital.

lim quando x->0 sen²(ax²)/x^4 = lim x->0 (sen(ax²))(sen(ax²))/x^4

multiplique por a²/a²
lim x->0 a² . (sen(ax²))(sen(ax²)/ax²ax²)[limite fundamental:sen(ax²)/ax²)=1]

= a² . 1 = a²