Qual a derivada de: g(x)= x/(raiz(1+x^2))

Vamos reescrever a expressão de uma forma um pouco diferente,

g(x) = x/(raiz(1 + x²)) = x*(1 + x²)^(-1/2)

Agora, vamos descobrir a derivada, que vamos chamar de g'(x)

g'(x) = (x*(1 + x²)^(-1/2))' = Usando a regra do produto, a primeira função vezes a derivada da segunda, mais a segunda vezes a derivada da primeira = x(-1/2)(2x)(1+x²)^(-3/2) + (1+x²)^(-1/2) = (1+x²)^(-1/2) - x²(1+x²)^(-3/2) = ((1+x²) - x²)/(1+x²)^(-3/2) = 1/(1+x²)^(-3/2)

Para devirar essa equação, vamos aplicar a regra do quociente

\(\frac{f}{g}=\frac{f'g-g'f}{g^2}\)

Assim:

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\)=

\(\frac{\frac{d}{dx}\left(x\right)\sqrt{1+x^2}-\frac{d}{dx}\left(\sqrt{1+x^2}\right)x}{\left(\sqrt{1+x^2}\right)^2}\)

Mas:

\(\frac{d}{dx}\left(x\right)=1\)

\(\frac{d}{dx}\left(\sqrt{1+x^2}\right)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)

Substituindo:

\(\frac{\frac{d}{dx}\left(x\right)\sqrt{1+x^2}-\frac{d}{dx}\left(\sqrt{1+x^2}\right)x}{\left(\sqrt{1+x^2}\right)^2}\)

\(=\frac{1\cdot \sqrt{1+x^2}-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}x}{\left(\sqrt{1+x^2}\right)^2}\)

Simplificando:

\(\frac{1\cdot \sqrt{1+x^2}-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}x}{\left(\sqrt{1+x^2}\right)^2}=\boxed{\quad \frac{1}{\left(1+x^2\right)\sqrt{x^2+1}}}\)