Sabendo que $\vec{F}(u)=\left\langle u^{3}+2 u, 6, \sqrt{u}\right\rangle $ e $\mathrm{m}(u)=\sqrt{u}$, assinale a alternativa que apresenta a derivada da função $\vec{G}(u)=32 \vec{F}(m(u))$ no ponto $u=4$:
A) $\langle 1600,0,8\rangle$
B) $\langle 200,0,1\rangle$
C) $\langle 100,6,8\rangle$
D) $\langle 500,0,2\rangle$
E) $\langle 200,6,1\rangle$

Question

Sabendo que $\vec{F}(u)=\left\langle u^{3}+2 u, 6, \sqrt{u}\right\rangle $ e $\mathrm{m}(u)=\sqrt{u}$, assinale a alternativa que apresenta a d...

Ed · Answer

Para encontrar a derivada da função $\vec{G}(u) = 32 \vec{F}(m(u))$ no ponto $u = 4$, vamos seguir os passos:

1. **Calcular $m(u)$**:
   $$
   m(u) = \sqrt{u}
   $$
   Para $u = 4$:
   $$
   m(4) = \sqrt{4} = 2
   $$

2. **Calcular $\vec{F}(m(u))$**:
   $$
   \vec{F}(u) = \left\langle u^{3} + 2u, 6, \sqrt{u} \right\rangle
   $$
   Agora substituímos $m(4) = 2$ em $\vec{F}(u)$:
   $$
   \vec{F}(2) = \left\langle 2^{3} + 2 \cdot 2, 6, \sqrt{2} \right\rangle = \left\langle 8 + 4, 6, \sqrt{2} \right\rangle = \left\langle 12, 6, \sqrt{2} \right\rangle
   $$

3. **Calcular $\vec{G}(u)$**:
   $$
   \vec{G}(u) = 32 \vec{F}(m(u)) = 32 \vec{F}(\sqrt{u})
   $$
   Para $u = 4$:
   $$
   \vec{G}(4) = 32 \vec{F}(2) = 32 \left\langle 12, 6, \sqrt{2} \right\rangle = \left\langle 384, 192, 32\sqrt{2} \right\rangle
   $$

4. **Calcular a derivada $\vec{G}'(u)$**:
   Para calcular a derivada, precisamos da regra da cadeia. A derivada de $\vec{G}(u)$ em relação a $u$ é:
   $$
   \vec{G}'(u) = 32 \vec{F}'(m(u)) \cdot m'(u)
   $$
   Onde $m'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$. Para $u = 4$:
   $$
   m'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}
   $$

5. **Calcular $\vec{F}'(u)$**:
   Vamos calcular a derivada de $\vec{F}(u)$:
   $$
   \vec{F}'(u) = \left\langle 3u^{2} + 2, 0, \frac{1}{2\sqrt{u}} \right\rangle
   $$
   Para $u = 2$:
   $$
   \vec{F}'(2) = \left\langle 3(2^{2}) + 2, 0, \frac{1}{2\sqrt{2}} \right\rangle = \left\langle 12 + 2, 0, \frac{1}{2\sqrt{2}} \right\rangle = \left\langle 14, 0, \frac{1}{2\sqrt{2}} \right\rangle
   $$

6. **Calcular $\vec{G}'(4)$**:
   Agora, substituímos:
   $$
   \vec{G}'(4) = 32 \left\langle 14, 0, \frac{1}{2\sqrt{2}} \right\rangle \cdot \frac{1}{4} = \left\langle 32 \cdot 14 \cdot \frac{1}{4}, 0, 32 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{4} \right\rangle
   $$
   $$
   = \left\langle 112, 0, \frac{8}{\sqrt{2}} \right\rangle = \left\langle 112, 0, 4\sqrt{2} \right\rangle
   $$

Agora, precisamos verificar as alternativas. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado que encontramos. Portanto, parece que houve um erro em algum lugar ou as alternativas não estão corretas.

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Qual é a equação polar da curva definida pela função \(\vec{G}(u)=\langle 2 u, 2 u\rangle\), com u>0?
A) \(\rho=2\)
B) \(\rho=\theta\)
C) \(\theta=\frac{\pi}{4} \frac{\lambda}{\pi}\)
D) \(\rho=1+\operatorname{sen} \theta\)
E) \(\rho=\cos \theta\)

Considere a função $g(x, y)=\operatorname{arctg}(2 x+y)$. Sabe-se que $x(u, v)=u^{2} v$ e $y(u, v)=u v$. Determine o valor da expressão $37\left(\frac{\partial g}{\partial u}+\frac{\partial g}{\partial v}\right)$ para $(u, v)=(1,2)$.
A 11
B 12
C 13
D 14
E 15

Seja \(h(x, y, z)=2 z^{3} e^{-2 x} \operatorname{sen}(2 y)\). Determine a soma de \(f_{x y z}+\frac{\partial^{3} f}{\partial z \partial y \partial z}\) no ponto \((x, y, z)=(0,0,2)\).
A) -144
B) 144
C) -96
D) 96
E) -48

Seja a função \(f(x, y, z)=x^{3} y-z^{4} y^{2}\), onde \(\mathrm{x}=(u+1) e^{v-1}, \mathrm{y}=u+2 v\) e \(\mathrm{z}=v \cos u\). Determine o valor da derivada parcial de f em relação a v para \(u=0\) e \(v=1\).
A) 10
B) -12
C) 14
D) -19
E) 20

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Considere a função $g(x, y)=\operatorname{arctg}(2 x+y)$. Sabe-se que $x(u, v)=u^{2} v$ e $y(u, v)=u v$. Determine o valor da expressão $37\left(\frac{\partial g}{\partial u}+\frac{\partial g}{\partial v}\right)$ para $(u, v)=(1,2)$.A 11B 12C 13D 14E 15

Seja \(h(x, y, z)=2 z^{3} e^{-2 x} \operatorname{sen}(2 y)\). Determine a soma de \(f_{x y z}+\frac{\partial^{3} f}{\partial z \partial y \partial z}\) no ponto \((x, y, z)=(0,0,2)\).A) -144B) 144C) -96D) 96E) -48

Seja a função \(f(x, y, z)=x^{3} y-z^{4} y^{2}\), onde \(\mathrm{x}=(u+1) e^{v-1}, \mathrm{y}=u+2 v\) e \(\mathrm{z}=v \cos u\). Determine o valor da derivada parcial de f em relação a v para \(u=0\) e \(v=1\).A) 10B) -12C) 14D) -19E) 20

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D) \(\rho=1+\operatorname{sen} \theta\)
E) \(\rho=\cos \theta\)

Considere a função $g(x, y)=\operatorname{arctg}(2 x+y)$. Sabe-se que $x(u, v)=u^{2} v$ e $y(u, v)=u v$. Determine o valor da expressão $37\left(\frac{\partial g}{\partial u}+\frac{\partial g}{\partial v}\right)$ para $(u, v)=(1,2)$.
A 11
B 12
C 13
D 14
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Seja \(h(x, y, z)=2 z^{3} e^{-2 x} \operatorname{sen}(2 y)\). Determine a soma de \(f_{x y z}+\frac{\partial^{3} f}{\partial z \partial y \partial z}\) no ponto \((x, y, z)=(0,0,2)\).
A) -144
B) 144
C) -96
D) 96
E) -48

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A) 10
B) -12
C) 14
D) -19
E) 20