Para fatorar a expressão algébrica \(25x^{2} + 10x + 1\), podemos observar que ela é um trinômio do tipo \(ax^{2} + bx + c\), onde \(a = 25\), \(b = 10\) e \(c = 1\). Podemos tentar fatorar essa expressão. Notamos que: 1. O primeiro termo \(25x^{2}\) é o quadrado de \(5x\). 2. O último termo \(1\) é o quadrado de \(1\). 3. O termo do meio \(10x\) é igual a \(2 \cdot 5x \cdot 1\). Portanto, a expressão pode ser escrita como o quadrado de um binômio: \[ (5x + 1)^{2} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \((5x + 1)^{2}\) - Esta é a fatoração correta. b) \(x(25x + 10)\) - Esta não é a fatoração correta. c) \((x + 5)(1 + x)\) - Esta não é a fatoração correta. d) \(5x(5x + 2)\) - Esta não é a fatoração correta. Assim, a alternativa correta é: a) (5x + 1)^{2}.