Determine a posição relativa entre os pontos dados em cada item abaixo e a circunferência $x^{2}+y^{2}-4 x+2 y-95=0$: a) $P(3,5)$

Para determinar a posição relativa do ponto \( P(3,5) \) em relação à circunferência dada pela equação \( x^{2}+y^{2}-4x+2y-95=0 \), precisamos primeiro reescrever a equação da circunferência na forma padrão. 1. Reescrevendo a equação: \[ x^{2} - 4x + y^{2} + 2y - 95 = 0 \] Agrupamos os termos de \( x \) e \( y \): \[ (x^{2} - 4x) + (y^{2} + 2y) = 95 \] 2. Completar o quadrado: - Para \( x^{2} - 4x \): \[ x^{2} - 4x = (x-2)^{2} - 4 \] - Para \( y^{2} + 2y \): \[ y^{2} + 2y = (y+1)^{2} - 1 \] Substituindo na equação: \[ (x-2)^{2} - 4 + (y+1)^{2} - 1 = 95 \] \[ (x-2)^{2} + (y+1)^{2} = 100 \] 3. Identificando o centro e o raio: A circunferência tem centro \( C(2, -1) \) e raio \( r = \sqrt{100} = 10 \). 4. Calculando a distância do ponto \( P(3,5) \) ao centro \( C(2,-1) \): A distância \( d \) é dada por: \[ d = \sqrt{(3-2)^{2} + (5 - (-1))^{2}} = \sqrt{1^{2} + 6^{2}} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37} \] 5. Comparando a distância com o raio: - O raio da circunferência é 10. - A distância \( d = \sqrt{37} \) é aproximadamente 6.08. 6. Conclusão: Como \( d < r \), o ponto \( P(3,5) \) está dentro da circunferência.