"[...] se A for uma matriz n xn, então um vetor não nulo x em Rn é denominado autovetor de A (ou do operador matricial TA) se Ax for um múltiplo escalar de x, tal que Ax = Ax com a escalar Я. o escalar 2 é denominado autovalor de A (ou de TA) e dizemos que x é um autovetor associado a я." ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2012. p. 295. Considerando que A seja uma matriz n xn, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). I. () A é um autovalor de A. II. () O sistema (Al A)x = 0 de equações tem soluções não triviais. III. () Existe algum vetor não nulo x, tal que Ax = Ax. IV. () 2 é uma solução da equação característica det()l A) 0. Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. A V,F,V,V.

Question

"[...] se A for uma matriz n xn, então um vetor não nulo x em Rn é denominado autovetor de A (ou do operador matricial TA) se Ax for um múltiplo es...

Ed · Answer

Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre autovalores e autovetores:

I. () A é um autovalor de A. É falsa. A matriz A não pode ser um autovalor de si mesma. Os autovalores são escalares associados a autovetores, não a própria matriz.

II. () O sistema (A - λI)x = 0 de equações tem soluções não triviais. É verdadeira. Para que existam soluções não triviais, o determinante de (A - λI) deve ser zero, o que é uma condição para que λ seja um autovalor de A.

III. () Existe algum vetor não nulo x, tal que Ax = Ax. É falsa. A afirmação está incorreta, pois a equação Ax = Ax não faz sentido no contexto de autovalores e autovetores. O correto seria Ax = λx, onde λ é um autovalor.

IV. () λ = 2 é uma solução da equação característica det(A - λI) = 0. É verdadeira. Se 2 é um autovalor de A, então ele deve satisfazer a equação característica, que é a condição para que existam autovalores.

Portanto, a sequência correta é: F - V - F - V.

A alternativa correta é: A V, F, V, V.

Álgebra Linear

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