Para mostrar que a função \( f(z) = \frac{\partial h}{\partial x}(z) - i \frac{\partial h}{\partial y}(z) \) é analítica, precisamos usar as condições de Cauchy-Riemann. 1. Definição de \( z \): Seja \( z = x + iy \), onde \( x \) e \( y \) são as partes real e imaginária de \( z \), respectivamente. 2. Derivadas parciais: A função \( h \) é harmônica, o que significa que ela é de classe \( C^2 \) e satisfaz a equação de Laplace: \[ \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = 0. \] 3. Condições de Cauchy-Riemann: Para que \( f \) seja analítica, as derivadas parciais de \( f \) devem satisfazer as condições de Cauchy-Riemann. Definimos: \[ u(x, y) = \frac{\partial h}{\partial x}(x, y) \quad \text{e} \quad v(x, y) = -\frac{\partial h}{\partial y}(x, y). \] 4. Verificação das condições: - Precisamos verificar se: \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}. \] 5. Cálculo das derivadas: - Calculamos \( \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y} \). - Calculamos \( \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial^2 h}{\partial y \partial x} \). 6. Igualdade: Como as derivadas mistas são iguais (devido à continuidade das derivadas de \( h \)), temos: \[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial^2 h}{\partial y \partial x} = \frac{\partial v}{\partial x}. \] 7. Conclusão: Portanto, \( f(z) \) satisfaz as condições de Cauchy-Riemann, o que implica que \( f \) é analítica em \( A \). Assim, mostramos que a função \( f(z) \) é analítica.