Ao calcular a integral $\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$ encontramos
-\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x-x \sqrt{1-x^{2}}\right)
\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x+x \sqrt{1-x^{2}}\right)
-\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x+x \sqrt{1-x^{2}}\right)
\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x-x \sqrt{1-x^{2}}\right)+c
\left(\operatorname{arcsen} x-x \sqrt{1-x^{2}}\right)

Question

Ao calcular a integral $\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$ encontramos
-\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x-x \sqrt{1-x^{2}}\right)
\fra...

Ed · Answer

Para resolver a integral $\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$, podemos usar a substituição $u = 1 - x^2$, o que nos leva a uma forma que pode ser integrada.

Após realizar os cálculos, a integral resulta em:

$$
-\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x - x \sqrt{1-x^{2}}\right) + C
$$

Analisando as alternativas apresentadas:

1. $-\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x - x \sqrt{1-x^{2}}\right)$ - Esta é a forma correta, mas não inclui a constante $C$.
2. $\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x + x \sqrt{1-x^{2}}\right)$ - Não é a forma correta.
3. $-\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x + x \sqrt{1-x^{2}}\right)$ - Não é a forma correta.
4. $\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x - x \sqrt{1-x^{2}}\right) + C$ - Não é a forma correta.
5. $\left(\operatorname{arcsen} x - x \sqrt{1-x^{2}}\right)$ - Não é a forma correta.

Portanto, a alternativa que mais se aproxima da resposta correta, considerando a constante de integração, é a primeira opção, mas sem a constante $C$. A resposta correta é:

$-\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x - x \sqrt{1-x^{2}}\right)$ (sem a constante $C$).

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Ao calcular a integral \(\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{a^{2}+x^{2}}} d x\) encontramos:
-\frac{1}{a} \frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{x}+c
\frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{x}+c
-\frac{1}{x} \frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{a}+c
-\frac{1}{a} \frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x}+c
\frac{1}{a} \frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{x}+c

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