Grátis: Ao calcular a integral \(\int \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} d x\) encontramos \frac{1}{3} \sqrt{a^{2}+x^{2}}\left(x^{2}-2 a^{2}\right)+c \frac{1... – Questões Respondidas

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Ao calcular a integral \(\int \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} d x\) encontramos
\frac{1}{3} \sqrt{a^{2}+x^{2}}\left(x^{2}-2 a^{2}\right)+c
\frac{1}{3} \sqrt{a^{2}+x^{2}}\left(x^{2}+2 a^{2}\right)+c
-\frac{1}{3} \sqrt{a^{2}+x^{2}}\left(x^{2}-2 a^{2}\right)+c
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Para resolver a integral \(\int \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} d x\), podemos usar a substituição \(u = \sqrt{a^{2} + x^{2}}\), o que nos ajuda a simplificar a expressão. Após realizar os cálculos, a integral resulta em: \[ \frac{1}{3} \sqrt{a^{2}+x^{2}}\left(x^{2}-2 a^{2}\right) + c \] Analisando as alternativas apresentadas, a correta é: \(\frac{1}{3} \sqrt{a^{2}+x^{2}}\left(x^{2}-2 a^{2}\right) + c\) Portanto, a resposta correta é a primeira opção.

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Ao calcular a integral \(\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x\) encontramos
-\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x-x \sqrt{1-x^{2}}\right)
\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x+x \sqrt{1-x^{2}}\right)
-\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x+x \sqrt{1-x^{2}}\right)
\frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsen} x-x \sqrt{1-x^{2}}\right)+c
\left(\operatorname{arcsen} x-x \sqrt{1-x^{2}}\right)

Ao calcular a integral \(\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{a^{2}+x^{2}}} d x\) encontramos:
-\frac{1}{a} \frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{x}+c
\frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{x}+c
-\frac{1}{x} \frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{a}+c
-\frac{1}{a} \frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x}+c
\frac{1}{a} \frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{x}+c

Ao calcular a integral \(\int \sqrt{x^{2}-a^{2}} d x\) encontramos:
-\frac{x}{2} \sqrt{x^{2}-a^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \ln \left\|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right\|+c
\frac{x}{2} \sqrt{x^{2}-a^{2}}-\frac{a^{2}}{2} \ln \left\|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right\|+c
\frac{x}{2} \sqrt{x^{2}-a^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \ln \left\|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right\|+c
-\frac{x}{2} \sqrt{x^{2}-a^{2}}-\frac{a^{2}}{2} \ln \left\|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right\|+c
\sqrt{x^{2}-a^{2}}-\ln \left\|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right\|+c