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Análise Estrutural

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Calcular a rotação da tangente à elástica em A para a estrutura da Fig. I-23, que tem EJ=10^4 tm^2, constante para todas as barras do quadro e cujo tirante tem ES=0,5×10^4 t.

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J. C. Sussekind Análise Estrutural Vol.2

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Para calcular a rotação da tangente à elástica em um ponto A de uma estrutura, você pode usar a fórmula da rotação em função do momento fletor e da rigidez à flexão. A rotação \(\theta\) pode ser dada por: \[ \theta = \frac{M}{EJ} \] onde: - \(M\) é o momento fletor na seção, - \(E\) é o módulo de elasticidade, - \(J\) é o momento de inércia da seção. Como você mencionou que \(EJ = 10^4 \, \text{tm}^2\) e que o tirante tem \(ES = 0,5 \times 10^4 \, t\), você precisaria calcular o momento fletor \(M\) na seção A, que depende das forças aplicadas e da geometria da estrutura. Se você tiver os valores das forças e a geometria, poderá calcular \(M\) e, em seguida, usar a fórmula acima para encontrar a rotação \(\theta\). Se precisar de mais detalhes sobre como calcular \(M\), me avise!

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Seja um ponto material m em equilíbrio, isto é, submetido a um conjunto de forças P_i tais que sua resultante R é nula, conforme indica a Fig. I-1. Imaginemos seja dado a este ponto um deslocamento δ sem a introdução de nenhuma nova força no sistema, isto é, mantendo R=0. Este deslocamento não pode ser atribuído a nenhuma causa física real, pois, para haver deslocamento real do ponto, seria necessária a introdução de uma nova força ao sistema, que possibilitasse este deslocamento (real) do ponto m. Tratemos, então, este deslocamento δ, dado nestas condições, (isto é, R=0 ), como uma entidade puramente matemática, à qual chamaremos deslocamento virtual: O trabalho virtual W realizado pelo conjunto de forças P_i (reais) que atuam sobre o ponto m quando ele sofre o deslocamento virtual δ vale W=R, δ=0. Dizemos, então, que, "para um ponto material em equilíbrio (R=0), o trabalho virtual realizado pelo sistema de forças reais em equilíbrio que atua sobre o ponto, quando este sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer, é nulo", o que constitui o princípio de d'Alembert. Isso garante a aceitação do novo conceito (trabalho virtual), pois preserva, para o ponto que sofreu um deslocamento virtual, as suas duas condições de equilíbrio: a estática (traduzida pela resultante nula) e a energética (traduzida pelo trabalho virtual realizado nulo).

Para um ponto material em equilíbrio, sabemos que o "trabalho real realizado pelo sistema de forças que atua sobre ele é nulo"; para este mesmo ponto, o princípio de d'Alembert nos diz que "o trabalho virtual realizado pelo sistema de forças que atua sobre ele é nulo para um deslocamento virtual arbitrário qualquer que lhe imponhamos". Bastou, portanto, substituir a palavra "real" do enunciado da proposição da Mecânica sobre trabalho (real) realizado por um ponto em equilíbrio, por "virtual" para obtermos a proposição sobre trabalho virtual realizado por um ponto material em equilíbrio, quando ele sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer.

Como os corpos rígidos e elásticos nada mais são que um somatório ao infinito de pontos materiais, podemos, imediatamente, enunciar os teoremas sobre trabalhos virtuais a eles aplicáveis, substituindo a palavra "real" dos enunciados dos teoremas de trabalhos reais relativos a estes dois tipos de corpos pela palavra "virtual" e, então, teremos: a) Corpos rígidos: "Para um corpo rígido em equilíbrio, a soma algébrica dos trabalhos virtuais de todas as forças (reais) que sobre ele atuam é nula, para todos os deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe imponhamos." b) Corpos elásticos: "Para um corpo elástico, que atingiu sua configuração de equilíbrio, o trabalho virtual total das forças externas que sobre ele atuam é igual ao trabalho virtual das forças internas (esforços simples) nele atuantes, para todos os deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe imponhamos."

Seja a estrutura da Fig. I-2, submetida ao carregamento indicado. Em se tratando de um corpo elástico, ela se deformará devido a estas cargas, adquirindo a configuração esquematizada em pontilhado na Fig. I-2. É evidente que duas seções vizinhas, distantes de ds, terão deformações relativas devidas aos esforços simples M, N, Q nelas atuantes, deformações estas que denominaremos dφ (rotação relativa de duas seções distantes de ds, devida a M), Δds (deslocamento axial relativo de duas seções distantes de ds, devido a N), dh (deslizamento relativo de duas seções distantes de ds, devido a Q). Os valores destas deformações relativas são objeto de estudo na Resistência de Materiais, e são dados por: dφ=M ds/EJ; Δds=N ds/ES; dh=χQ ds/GS sendo E: módulo de elasticidade longitudinal do material; G: módulo de elasticidade transversal; J: momento de inércia de seção transversal em relação a seu eixo neutro; S: área de seção transversal; χ: coeficiente de redução, resultante da distribuição não uniforme das tensões cisalhantes, cujo valor varia com o tipo de seção.

Suponhamos, para fins de raciocínio, que queiramos calcular o deslocamento do ponto m na direção Δ, ao qual chamaremos δ:

Chegando-se à expressão final, verificamos que, para fins de cálculo dos trabalhos virtuais, tudo se passou como se a Fig. I-3 nos fornecesse cargas e esforços e a Fig. I-2 as deformações. Por esta razão, elas são denominadas, respectivamente, estado de carregamento e estado de deformação.

A escolha do estado de carregamento deve ser tal que a carga P̅ associada à deformação δ, que se deseja calcular, nos forneça um trabalho virtual de forças externas igual a P̅ δ. Ele é, pois, função da deformação a calcular e pode ser, comodamente, tabelado para os casos práticos usuais, o que está feito na tabela I.

O estado de deformação pode ser provocado por: - carregamento exterior - variação de temperatura - movimentos (recalques) de apoios - modificações impostas na montagem Neste item, estudamos a primeira das causas; as outras serão analisadas, de forma inteiramente análoga, nos próximos.

Para as estruturas com que lidamos usualmente na prática, podemos acrescentar as seguintes informações, de grande valia na simplificação do trabalho numérico do engenheiro: - A parcela ∫_I ×Q Q̅ ds/GS pode ser, usualmente, desprezada em presença das demais, com erro mínimo (somente em caso de vãos muito curtos e cargas muito elevadas, a influência do esforço cortante apresenta valor considerável). - Também com erro tolerável, podemos desprezar a parcela ∫_I N N̅ ds/ES para peças de estruturas que não trabalhem fundamentalmente ao esforço normal. (É evidente que não o podemos fazer, pois, nos casos de arcos, escoras, tirantes, barras de treliça, pilares esbeltos e peças protendidas em geral.)

Calcular o deslocamento horizontal de D, para o quadro da Fig. I-4, que tem EJ=2×10^4 tm^2 para todas as barras.

Calcular a rotação da tangente à elástica em B, para a estrutura da Fig. 1-17.