Para resolver a questão, precisamos analisar a expressão dada e as propriedades dos logaritmos. A equação \(X^3 - pX^2 = q^m\) possui três raízes reais positivas \(a\), \(b\) e \(c\). Sabemos que, pela relação de Vieta, temos: - \(a + b + c = p\) - \(ab + ac + bc = 0\) (não é relevante aqui) - \(abc = q^m\) Agora, vamos analisar a expressão \(log_q[abc(a^2 + b^2 + c^2)^{(a+b+c)}]\). Podemos reescrever a expressão usando propriedades de logaritmos: \[ log_q[abc(a^2 + b^2 + c^2)^{(a+b+c)}] = log_q[abc] + log_q[(a^2 + b^2 + c^2)^{(a+b+c)}] \] Usando a propriedade do logaritmo, temos: \[ log_q[(a^2 + b^2 + c^2)^{(a+b+c)}] = (a+b+c) \cdot log_q(a^2 + b^2 + c^2) \] Agora, substituímos \(abc = q^m\): \[ log_q[abc] = log_q[q^m] = m \] Para \(a^2 + b^2 + c^2\), podemos usar a identidade: \[ a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab + ac + bc) = p^2 - 2 \cdot 0 = p^2 \] Assim, temos: \[ log_q(a^2 + b^2 + c^2) = log_q(p^2) = 2 log_q(p) \] Substituindo tudo na expressão original: \[ log_q[abc(a^2 + b^2 + c^2)^{(a+b+c)}] = m + (a+b+c) \cdot log_q(p^2) = m + p \cdot 2 log_q(p) \] Portanto, a expressão final é: \[ log_q[abc(a^2 + b^2 + c^2)^{(a+b+c)}] = m + 2p log_q(p) \] Assim, a alternativa correta é: B ( ) m + 2p log_q p.