Si a ∈ ℝ⁺, entonces: a + rac{1}{a} geqslant 2

A afirmação que você trouxe é um resultado do Teorema da Média Aritmética e Média Geométrica (AM-GM). Vamos demonstrar isso passo a passo: 1. Definição: Seja \( a \in \mathbb{R}^+ \) (ou seja, \( a \) é um número real positivo). 2. Aplicação do Teorema AM-GM: Para dois números positivos \( a \) e \( \frac{1}{a} \), a média aritmética é dada por: \[ \text{Média Aritmética} = \frac{a + \frac{1}{a}}{2} \] E a média geométrica é: \[ \text{Média Geométrica} = \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = \sqrt{1} = 1 \] 3. Desigualdade: Segundo o Teorema AM-GM, temos que: \[ \frac{a + \frac{1}{a}}{2} \geq 1 \] 4. Multiplicando por 2: Multiplicando ambos os lados da desigualdade por 2, obtemos: \[ a + \frac{1}{a} \geq 2 \] Portanto, a afirmação \( a + \frac{1}{a} \geq 2 \) está correta para todo \( a \in \mathbb{R}^+ \).