O entendimento e a aplicação correta da regra da cadeia são essenciais para a análise e otimização de funções de várias variáveis em diversos campos científicos e aplicados.
Considere a função f(x, y, z) = x2 + 3y2 + z2 − 2xy e a curva espacial α (t) = (x (t), y (t), z (t)). Determine a derivada da função g(t) = f(x(t), y(t), z(t)) em t = t0, sabendo que x(t0) = 1, y(t0) = 2, z(t0) = −1 e x′(t0) = 2, y′(t0) = √2, z′(t0) = 1.
9√2 − 6.
10√2 − 6.
11√2 − 6.
8√2 − 6.
5√2 − 6.

Question

O entendimento e a aplicação correta da regra da cadeia são essenciais para a análise e otimização de funções de várias variáveis em diversos campo...

Ed · Answer

Para determinar a derivada da função $ g(t) = f(x(t), y(t), z(t)) $ em $ t = t_0 $, precisamos aplicar a regra da cadeia. A derivada de $ g(t) $ em relação a $ t $ é dada por:

$$
g'(t) = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot x'(t) + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot y'(t) + \frac{\partial f}{\partial z} \cdot z'(t)
$$

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y, z) = x^2 + 3y^2 + z^2 - 2xy $:

1. $ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 2y $
2. $ \frac{\partial f}{\partial y} = 6y - 2x $
3. $ \frac{\partial f}{\partial z} = 2z $

Agora, substituímos $ x(t_0) = 1 $, $ y(t_0) = 2 $, e $ z(t_0) = -1 $:

1. $ \frac{\partial f}{\partial x} \bigg|_{(1, 2, -1)} = 2(1) - 2(2) = 2 - 4 = -2 $
2. $ \frac{\partial f}{\partial y} \bigg|_{(1, 2, -1)} = 6(2) - 2(1) = 12 - 2 = 10 $
3. $ \frac{\partial f}{\partial z} \bigg|_{(1, 2, -1)} = 2(-1) = -2 $

Agora, substituímos as derivadas $ x'(t_0) = 2 $, $ y'(t_0) = \sqrt{2} $, e $ z'(t_0) = 1 $:

$$
g'(t_0) = (-2) \cdot (2) + (10) \cdot (\sqrt{2}) + (-2) \cdot (1)
$$

Calculando:

$$
g'(t_0) = -4 + 10\sqrt{2} - 2 = 10\sqrt{2} - 6
$$

Portanto, a derivada da função $ g(t) $ em $ t = t_0 $ é:

$$
g'(t_0) = 10\sqrt{2} - 6
$$

A resposta correta é $ 10\sqrt{2} - 6 $.

Biologia Molecular

EXERCICIOS_Funções De Várias Variáveis e Suas Derivadas

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

EXERCICIOS_Funções De Várias Variáveis e Suas Derivadas

Determine a derivada direcional da função f(x, y) = x + 5y2 na direção do vetor v = (−1, √3) no ponto (x,y) = (1,1).
2√3
2√3 + 1
2√3 − 1
√3 + 1
1 − √3

Seja a função h(x, y, z) = (x + 2)2ln(y2 + z). Determine o vetor gradiente de h.
(2ln(y2 + z), , )
((x + 2)ln(y2 + z), , )
(2y(x + 2)2, , )
((x + 2)2, , )
(2(x + 2)ln(y2 + z), , )

Mais conteúdos dessa disciplina

Biologia Molecular

EXERCICIOS_Funções De Várias Variáveis e Suas Derivadas

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

EXERCICIOS_Funções De Várias Variáveis e Suas Derivadas

Determine a derivada direcional da função f(x, y) = x + 5y2 na direção do vetor v = (−1, √3) no ponto (x,y) = (1,1).2√32√3 + 12√3 − 1√3 + 11 − √3

Seja a função h(x, y, z) = (x + 2)2ln(y2 + z). Determine o vetor gradiente de h.(2ln(y2 + z), , )((x + 2)ln(y2 + z), , )(2y(x + 2)2, , )((x + 2)2, , )(2(x + 2)ln(y2 + z), , )

Mais conteúdos dessa disciplina

Determine a derivada direcional da função f(x, y) = x + 5y2 na direção do vetor v = (−1, √3) no ponto (x,y) = (1,1).
2√3
2√3 + 1
2√3 − 1
√3 + 1
1 − √3

Seja a função h(x, y, z) = (x + 2)2ln(y2 + z). Determine o vetor gradiente de h.
(2ln(y2 + z), , )
((x + 2)ln(y2 + z), , )
(2y(x + 2)2, , )
((x + 2)2, , )
(2(x + 2)ln(y2 + z), , )