EXERCICIOS_Funções De Várias Variáveis e Suas Derivadas

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A
B
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A derivada parcial é uma das principais ferramentas para analisar funções de várias variáveis. Ela permite
calcular a taxa de variação da função em relação a uma variável específica, mantendo as demais constantes.
Sobre as derivadas parciais, marque a afirmativa correta.
Se uma função  possui derivadas parciais contínuas, então ela é diferenciável.f :  R2 → R
Se uma função  diferenciável em  pode não ter plano tangente em
 .
f :  R2 → R (x0,  y0)
(x0,  y0, f (x0,  y0))
Questão 2
de
10
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Lista de exercícios Funções De Várias Variáveis e Suas Derivadas Sair
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C
D
E
Toda função  contínua em um ponto  é diferenciável em .f :  R2 → R P P
A função  tem derivadas direcionais em todas as direções do ponto .f (x,  y) = √x2 + y2 (0,  0)
Para provar que uma função  é contínua em , basta provar que 
 existe sobre todas as retas que passam por .
f :  R2 → R (x0,  y0) lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) (x0,  y0)
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
Se uma função  possui derivadas parciais contínuas, então ela é diferenciável. Correta.
Teoremas sobre a diferenciabilidade:
Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto;
Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é possui derivadas nesse ponto;
Se  e  existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.
Se uma função  diferenciável em  pode não ter plano tangente em
. Incorreta.
Se ela tem derivadas parciais no ponto, ela tem plano tangente.
Toda função  contínua em um ponto  é diferenciável em . Incorreta.
f :  R2 → R
∂f
∂x
∂f
∂y
f :  R2 → R (x0,  y0)
(x0,  y0, f (x0,  y0))
f :  R2 → R P P
Existem casos em que uma função contínua em um ponto não é diferenciável nesse ponto. Um exemplo
clássico é a função  Essa função é contínua em todos os pontos do plano,
incluindo o ponto  . No entanto, ela não é diferenciável em P.
A função  tem derivadas direcionais em todas as direções do ponto .
Incorreta.
A primeira coisa é calcular o vetor gradiente:
O vetor gradiente não existe em .
Para provar que uma função  é contínua em , basta provar que 
   existe sobre todas as retas que passam por . Incorreta.
Isso só nos dá um indicio de que o limite pode existir, mas uma função pode apesar desse indicio, não
ter limite.
f (x, y) = |x| + |y| .
P = (0, 0)
f (x,  y) = √x2 + y2 (0,  0)
∇f (P) = ( , )2x
2√x2+y2
2x
2√x2+y2
(0, 0)
f :  R2 → R (x0,  y0) lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)
2 Marcar para revisão
As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento de partículas em
um espaço tridimensional, a distribuição de temperatura em um objeto ou a variação da pressão em um
fluido. Considere uma placa de metal cuja temperatura (em °C) é dada por ,T (x, y) = 36 − 2x2 − 4y2
A
B
C
D
E
onde x e y são medidos em centímetros e um objeto está no ponto . Determine a temperatura do
objeto se este for na direção do vetor  .
P = (2,  1)
v = (1, 1) .
−16√2.
16√2.
8√2.
−8√2.
0.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Calculando a derivada direcional:
(x, y) = ∇f (P) ∙ = (−8,   − 8) ∙ = (−8,   − 8) ∙ ( , ) = − − = −∂T
∂x
v
∥v∥
(1,1)
√12+12
1
√2
1
√2
8
√2
8
√2
16
√2
(x, y) = − = −8√2∂T
∂x
16√2
2
A
B
C
D
E
Logo,
(x, y) = −8√2Logo,
v
∥v∥ = √(2)2 + (2)2 + (1)2 = √4 + 4 + 1 = √9 = 3
f (x, y, z) = xy + y2z
∇f (x, y, z) = ( , , ) = (y,  x + 2yz, y2 )
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂y
P
∇f (x, y, z) = (y,  x + 2yz, y2 )
∇f (P) = ∇f (7, −2, 1) = ((−2) ,   (7) + 2 (−2) (1) , (2)2) = (−2,  7 − 4,  4) = (−2,  3,  4)
(P) = ∇f (P) ∙ = (−2,  3,  4) ∙ = [(−2,  3,  4) ∙ (2, 2, 1)] =
∂f
∂x
v
∥v∥
(2, 2, 1)
3
1
3
(P) = [(−2) (2) + (3) (2) + (4) (1)] = [−4 + 6 + 4] = (6) = 2
∂f
∂x
1
3
1
3
1
3
A
B
C
D
E
(P) = 2
∂f
∂x
8 Marcar para revisão
Seja a função . Determine o vetor gradiente de h(x,y,z)h(x,  y,  z)  = (x + 2)2ln (y2 + z)
( ,   ,   )x+2
y2+z
2y(x+2)2
y2+z
(x+2)2
y2+z
((x + 2)ln(y2 + z),   ,   )2z(x+2)2
y2+z
y(x+2)2
y2+z
(2ln(y2 + z),   ,   )(x+2)2
y2+z
y(x+2)2
y2+z
((x + 2)ln(y + z), ,   )xyz
y2+z
z(x+2)2
y2+z
(2(x + 2)ln(y2 + z), ,   )2y(x+2)2
y2+z
(x+2)2
y2+z
A
B
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
O vetor gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cuja
magnitude é a taxa de aumento nessa direção. Para a função dada, o vetor gradiente é calculado
tomando as derivadas parciais da função em relação a cada variável. A alternativa correta é a E, que
apresenta o vetor gradiente correto para a função dada: (2(x + 2)ln(y2 + z), ,   )2y(x+2)2
y2+z
(x+2)2
y2+z
9 Marcar para revisão
O entendimento e a aplicação correta da regra da cadeia são essenciais para a análise e otimização de
funções de várias variáveis em diversos campos científicos e aplicados. Considere a função
  e a curva espacial . Determine a derivada
da função , quanto  ou seja  sabendo que  
 .
f (x, y, z) = x2 + 3y2 + z2 − 2xy α (t) = (x (t) , y (t) ,  z (t))
g (t) = f (x (t) , y (t) ,  z (t)) t = t0, g′ (t0)
x (t0) = 1,   y (t0) = 2,   z (t0) = −1 e x′(t0) = 2, y ′(t0) = √2, z′(t0) = 1
9√2 − 6.
10√2 − 6.
C
D
E
11√2 − 6.
8√2 − 6.
5√2 − 6.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Sabemos que:
Aplicando a regra da cadeia:
Calculando o gradiente:
Para o , temos:
f (x, y, z) = x2 + 3y2 + z2 − 2xy
α (t) = (x (t) , y (t) ,  z (t))
x (t0) = 1,   y (t0) = 2,   z (t0) = −1
x′(t0) = 2, y ′(t0) = √2, z′(t0) = 1
= ∙ + ∙ + ∙
df
dt
∂f
∂x
dx
dt
∂f
∂y
dy
dt
∂f
∂z
dz
dt
∇f (x, y, z) = ( ,   , ) = (2x − 2y,  6y − 2x,  2z)
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z
t = t0
(x (t0) , y (t0) ,  z (t0)) = (1,  2 − 1)
A
B
C
Voltando:
Logo,
∇f (x, y, z) = ( ,   , ) = (−2,  10,   − 2)
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z
= ∙ + ∙ + ∙ = (−2) ∙ (2) + (10) ∙ (√2) + (−2) ∙ (1) = 10√2 − 6
df
dt
∂f
∂x
dx
dt
∂f
∂y
dy
dt
∂f
∂z
dz
dt
= 10√2 − 6
df
dt
10 Marcar para revisão
Seja a função , onde x = (u+1) , y = u+ 2v e z = v cos u. Determine o valor da
derivada parcial de f em relação a v para u = 0 e v = 1.
f(x,  y,  z)  = x3y − z4y2 ev−1
10
-12
14
D
E
-19
20
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, é necessário calcular a derivada parcial da função f em relação a v. Primeiro,
substituímos x, y e z pelas expressões dadas em termos de u e v. Em seguida, aplicamos a regra da
cadeia para obter a derivada parcial de f em relação a v. Ao substituir u = 0 e v = 1 nas expressões
obtidas, encontramos o valor da derivada parcial, que é -19. Portanto, a alternativa correta é a D.