Para calcular \(\frac{dy}{dx}\) da função dada \(x^2(1 + y) = y^2(x - 1)\) usando derivação implícita, vamos seguir os passos: 1. Derivar ambos os lados em relação a \(x\): - Para o lado esquerdo: \[ \frac{d}{dx}[x^2(1 + y)] = 2x(1 + y) + x^2\frac{dy}{dx} \] - Para o lado direito: \[ \frac{d}{dx}[y^2(x - 1)] = 2y\frac{dy}{dx}(x - 1) + y^2 \] 2. Igualar as derivadas: \[ 2x(1 + y) + x^2\frac{dy}{dx} = 2y\frac{dy}{dx}(x - 1) + y^2 \] 3. Isolar \(\frac{dy}{dx}\): - Reorganizando a equação: \[ x^2\frac{dy}{dx} - 2y(x - 1)\frac{dy}{dx} = y^2 - 2x(1 + y) \] - Fatorando \(\frac{dy}{dx}\): \[ \frac{dy}{dx}(x^2 - 2y(x - 1)) = y^2 - 2x(1 + y) \] - Finalmente, isolando \(\frac{dy}{dx}\): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - 2x(1 + y)}{x^2 - 2y(x - 1)} \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \(y' = \frac{-y^2 - 2x - 2xy}{x^2 - 2xy + 2y}\) B) \(y' = x^2 + 2xy + 2y\) C) \(y' = \frac{y^2 - 2xy}{x^2 + 2y}\) D) \(y = \frac{y^2 - 2x}{x^2 + 2y}\) A alternativa correta, que se aproxima da forma que encontramos, é a opção C) \(y' = \frac{y^2 - 2xy}{x^2 + 2y}\).