Para encontrar a derivada da função \( F(u) = \langle u^3 + 2u, 6, \sqrt{u} \rangle \) no ponto \( u = 4 \), precisamos calcular a derivada de cada componente da função \( F(u) \). 1. Primeira componente: \( F_1(u) = u^3 + 2u \) - Derivada: \( F_1'(u) = 3u^2 + 2 \) - Avaliando em \( u = 4 \): \( F_1'(4) = 3(4^2) + 2 = 3(16) + 2 = 48 + 2 = 50 \) 2. Segunda componente: \( F_2(u) = 6 \) - Derivada: \( F_2'(u) = 0 \) (constante) 3. Terceira componente: \( F_3(u) = \sqrt{u} \) - Derivada: \( F_3'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \) - Avaliando em \( u = 4 \): \( F_3'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \) Agora, juntando as derivadas, temos: \[ F'(4) = \langle 50, 0, \frac{1}{4} \rangle \] Agora, vamos analisar as alternativas dadas: - < 1600, 0, 8 > - < 200, 0, 1 > - < 100, 6, 8 > - < 500, 0, 2 > - < 200, 6, 1 > Nenhuma das alternativas corresponde exatamente a \( \langle 50, 0, \frac{1}{4} \rangle \). Parece que houve um erro nas opções apresentadas ou na interpretação da questão. Porém, se considerarmos que a terceira componente deve ser aproximada, a alternativa que mais se aproxima do resultado correto é a que tem a segunda componente igual a 0. Assim, a alternativa correta, considerando a análise, seria a que tem a segunda componente como 0, mas nenhuma se encaixa perfeitamente. Se precisar de mais informações ou se houver um erro nas opções, você deve criar uma nova pergunta.