Para responder à sua pergunta, vamos analisar cada uma das séries apresentadas e identificar a função para a qual cada série converge, além do intervalo de convergência. a) \( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \) Essa é uma série geométrica alternada. Converge para \( \frac{1}{1+x} \) para \( |x| < 1 \). b) \( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n \) Essa série pode ser derivada da série geométrica. Converge para \( \frac{x}{(1-x)^2} \) para \( |x| < 1 \). c) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n} \) Essa série não converge para \( n=0 \) e diverge para \( |x| \geq 1 \). Para \( |x| < 1 \), ela converge para \( -\ln(1-x) \). d) \( \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} \) Essa série é a derivada da série geométrica. Converge para \( \frac{1}{(1-x)^2} \) para \( |x| < 1 \). e) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \) Essa série converge para \( -\ln(1-x) \) para \( |x| < 1 \). f) \( \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)x^n \) Essa série também pode ser derivada e converge para \( \frac{2x^2}{(1-x)^3} \) para \( |x| < 1 \). Agora, vamos verificar as alternativas: - A alternativa correta deve conter todas as funções e intervalos de convergência corretos. - As séries a, b, d, e e f têm funções e intervalos de convergência bem definidos para \( |x| < 1 \). - A série c diverge para \( |x| \geq 1 \) e não é válida para \( n=0 \). Portanto, a alternativa que contém todas as séries que convergem corretamente é: a, b, d, e, f. Se você tiver uma lista de alternativas específicas, por favor, forneça-as para que eu possa identificar a correta.