Determine, caso exista, 0 limπ-3 3x²+12x+9 x²-3+2x

Para determinar el límite \(\lim_{x \to -3} \frac{3x^2 + 12x + 9}{x^2 - 3 + 2x}\), primero evaluamos el numerador y el denominador al sustituir \(x = -3\). 1. **Numerador**: \[ 3(-3)^2 + 12(-3) + 9 = 3(9) - 36 + 9 = 27 - 36 + 9 = 0 \] 2. **Denominador**: \[ (-3)^2 - 3 + 2(-3) = 9 - 3 - 6 = 0 \] Ambos, el numerador y el denominador, se anulan, lo que indica que tenemos una indeterminación \( \frac{0}{0} \). Por lo tanto, debemos factorizar o simplificar la expresión. 3. **Factorizamos el numerador**: \[ 3x^2 + 12x + 9 = 3(x^2 + 4x + 3) = 3(x + 1)(x + 3) \] 4. **Factorizamos el denominador**: \[ x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) \] 5. **Sustituyendo en la expresión original**: \[ \frac{3(x + 1)(x + 3)}{(x + 3)(x - 1)} \] 6. **Cancelamos el factor común \((x + 3)\)**: \[ \frac{3(x + 1)}{x - 1} \] 7. **Ahora evaluamos el límite**: \[ \lim_{x \to -3} \frac{3(x + 1)}{x - 1} = \frac{3(-3 + 1)}{-3 - 1} = \frac{3(-2)}{-4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] Por lo tanto, el límite es: \[ \lim_{x \to -3} \frac{3x^2 + 12x + 9}{x^2 - 3 + 2x} = \frac{3}{2} \]