Para determinar o volume do sólido limitado pelos paraboloides \( z^2 = 64 - 3x^2 - 3y^2 \) e \( z^2 = 6x^2 + 6y^2 - 36 \), precisamos seguir alguns passos: 1. Encontrar a interseção das superfícies: Igualamos as duas equações para encontrar os limites de integração. \[ 64 - 3x^2 - 3y^2 = 6x^2 + 6y^2 - 36 \] Simplificando, temos: \[ 100 = 9x^2 + 9y^2 \implies x^2 + y^2 = \frac{100}{9} \] Isso representa um círculo de raio \( \frac{10}{3} \). 2. Definir os limites de integração: Para a integral dupla, os limites em \( x \) e \( y \) serão dados pela equação do círculo. Podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração: \[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta \] onde \( r \) varia de \( 0 \) a \( \frac{10}{3} \) e \( \theta \) de \( 0 \) a \( 2\pi \). 3. Volume do sólido: O volume \( V \) pode ser calculado pela integral dupla da diferença das funções que definem as superfícies, considerando que \( z \) varia entre as duas superfícies: \[ V = \iint_R (z_{\text{superior}} - z_{\text{inferior}}) \, dA \] Onde \( z_{\text{superior}} = \sqrt{64 - 3x^2 - 3y^2} \) e \( z_{\text{inferior}} = \sqrt{6x^2 + 6y^2 - 36} \). 4. Cálculo da integral: Em coordenadas polares, a integral se torna: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{10}{3}} \left( \sqrt{64 - 3r^2} - \sqrt{6r^2 - 36} \right) r \, dr \, d\theta \] Lembre-se de que a parte inferior só é válida quando \( 6r^2 - 36 \geq 0 \), ou seja, \( r \geq 3 \). 5. Calcular a integral: Você pode calcular essa integral usando técnicas de integração apropriadas, como substituição ou integração numérica, se necessário. Esse é o caminho para encontrar o volume do sólido. Se precisar de mais detalhes sobre algum passo específico, é só avisar!