Para resolver essa questão, precisamos calcular as derivadas parciais da função \( f(x,y) = \sqrt{(4 - x^3)^3} + \sin(2y) \) usando a regra da cadeia. 1. Derivada parcial em relação a \( x \): - A função \( f(x,y) \) tem um termo que depende de \( x \): \( \sqrt{(4 - x^3)^3} \). - Usando a regra da cadeia, temos: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{(4 - x^3)^3}} \cdot 3(4 - x^3)^2 \cdot (-3x^2) = -\frac{9x^2(4 - x^3)^2}{2\sqrt{(4 - x^3)^3}} \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): - O termo \( \sin(2y) \) é mais simples: \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 2\cos(2y) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2(4 - x^3)^{-1/2} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} = 2\sin(2y) \) - Incorreta. b) \( \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2(4 - x^3)^{3/2} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} = \cos(2x) \) - Incorreta. c) \( \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3}{4 - x^3} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} = 2\cos(\sec(2y)) \) - Incorreta. d) \( \frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{9x^2(4 - x^3)^2}{2\sqrt{(4 - x^3)^3}} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} = 2\cos(2y) \) - Correta. Portanto, a alternativa correta é a d.