Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre o movimento do cosmonauta e o movimento das estrelas no sistema. 1. Período de rotação do sistema estelar: Como as duas estrelas estão em órbita circular ao redor do centro de massa, podemos usar a fórmula do período de um corpo em órbita circular: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot M}} \] onde \(M\) é a massa total do sistema (duas estrelas de massa \(m\), então \(M = 2m\)) e \(G\) é a constante gravitacional. 2. Período de oscilação do cosmonauta: O cosmonauta está realizando um movimento oscilatório em um campo gravitacional. Para um movimento harmônico simples em um campo gravitacional, o período é dado por: \[ T_{osc} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}} \] onde \(g\) é a aceleração gravitacional que, para uma estrela, é dada por: \[ g = \frac{G \cdot m}{R^2} \] Portanto, substituindo \(g\) na fórmula do período de oscilação, temos: \[ T_{osc} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{\frac{G \cdot m}{R^2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot m}} \] 3. Relação entre os períodos: Agora, vamos encontrar a razão entre o período de oscilação do cosmonauta e o período de rotação do sistema estelar: \[ \frac{T_{osc}}{T} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot m}}}{2\pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot 2m}}} = \sqrt{\frac{G \cdot 2m}{G \cdot m}} = \sqrt{2} \] Portanto, a razão entre o período de oscilação do cosmonauta e o período de rotação do sistema estelar é \(\sqrt{2}\). A alternativa correta é: (D) √ 2.