A solução geral da EDO 2y′′−5y′−3y=0 é igual a: a. y=e−x2−ex b. y=c1e5x+c2e3x c. y=c1e−x+c2e3x d. y=c1e−x2+c2e3x e. y=c1ex2+c2ex

Para resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada, precisamos primeiro identificar o tipo da equação e encontrar a solução geral. A equação é \(2y'' - 5y' - 3y = 0\). Para resolver, podemos dividir todos os termos por 2, resultando em: \[ y'' - \frac{5}{2}y' - \frac{3}{2}y = 0 \] Agora, vamos encontrar a equação característica associada, que é: \[ r^2 - \frac{5}{2}r - \frac{3}{2} = 0 \] Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \(a = 1\), \(b = -\frac{5}{2}\) e \(c = -\frac{3}{2}\): \[ r = \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)}}{2 \cdot 1} \] Calculando o discriminante: \[ \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{25}{4} + 6 = \frac{25}{4} + \frac{24}{4} = \frac{49}{4} \] Portanto, temos: \[ r = \frac{\frac{5}{2} \pm \frac{7}{2}}{2} \] Isso nos dá as raízes: 1. \( r_1 = \frac{6}{2} = 3 \) 2. \( r_2 = \frac{-2}{2} = -1 \) Assim, a solução geral da EDO é da forma: \[ y = c_1 e^{3x} + c_2 e^{-x} \] Analisando as alternativas, a correta é: b) \( y = c_1 e^{5x} + c_2 e^{3x} \) No entanto, parece que houve um erro na análise das raízes. A solução correta deve ser: c) \( y = c_1 e^{-x} + c_2 e^{3x} \) Portanto, a resposta correta é a alternativa c.