A solução geral da EDO 2y′′−5y′−3y=0 é igual a: calculo

Para resolver a equação diferencial ordinária (EDO) \(2y'' - 5y' - 3y = 0\), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a equação característica: Substituímos \(y = e^{rt}\), onde \(r\) é uma constante. A equação se torna: \[ 2r^2 - 5r - 3 = 0 \] 2. Resolver a equação quadrática: Usamos a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Aqui, \(a = 2\), \(b = -5\) e \(c = -3\): \[ r = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} \] \[ r = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4} \] Isso nos dá as raízes: \[ r_1 = 3 \quad \text{e} \quad r_2 = -\frac{1}{2} \] 3. Escrever a solução geral: Como temos duas raízes distintas, a solução geral da EDO é dada por: \[ y(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-\frac{1}{2}t} \] onde \(C_1\) e \(C_2\) são constantes que podem ser determinadas a partir de condições iniciais, se fornecidas. Portanto, a solução geral da EDO \(2y'' - 5y' - 3y = 0\) é: \[ y(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-\frac{1}{2}t} \]