Podemos adaptar a demonstração do Exemplo 10 da Seção 1.6 para mostrar que 3 é irracional?

Sim, podemos adaptar a demonstração para mostrar que 3 é irracional. A abordagem clássica para provar que um número é irracional é por contradição. 1. Suponha que 3 seja racional: Isso significa que pode ser expresso como uma fração \( \frac{a}{b} \), onde \( a \) e \( b \) são inteiros e \( b \neq 0 \). 2. Eleve ambos os lados ao quadrado: \( 3 = \frac{a}{b} \) implica que \( 3b^2 = a^2 \). 3. Análise da paridade: Como \( a^2 \) é múltiplo de 3, \( a \) também deve ser múltiplo de 3 (se um quadrado é divisível por um número primo, o número também é). Portanto, podemos escrever \( a = 3k \) para algum inteiro \( k \). 4. Substitua \( a \) na equação: \( 3b^2 = (3k)^2 \) resulta em \( 3b^2 = 9k^2 \), ou seja, \( b^2 = 3k^2 \). 5. Conclusão sobre \( b \): Isso implica que \( b^2 \) também é múltiplo de 3, e, portanto, \( b \) também deve ser múltiplo de 3. 6. Contradição: Se tanto \( a \) quanto \( b \) são múltiplos de 3, isso contradiz a suposição inicial de que \( \frac{a}{b} \) está na forma reduzida. Portanto, a suposição de que 3 é racional leva a uma contradição, o que significa que 3 é irracional.