Determinar o volume interno ao cilindro x2 + y2 = 9, 0 ≤ z ≤ 9 e externo ao cone x2 + y2 = 1/9 z2, z ≥ 0.

Para determinar o volume interno do cilindro \(x^2 + y^2 = 9\) (que tem raio 3) e externo ao cone \(x^2 + y^2 = \frac{1}{9} z^2\), podemos usar coordenadas cilíndricas. 1. Identificação das superfícies: - O cilindro se estende de \(z = 0\) até \(z = 9\). - O cone tem a equação \(r^2 = \frac{1}{9} z^2\), ou seja, \(r = \frac{1}{3} z\). 2. Limites de integração: - O cilindro tem raio 3, então \(0 \leq r \leq 3\). - O cone se encontra com o cilindro quando \(r = 3\), ou seja, \(3 = \frac{1}{3} z\) implica \(z = 9\). - Portanto, o cone se estende de \(z = 0\) até \(z = 9\). 3. Volume: O volume \(V\) pode ser calculado pela integral dupla em coordenadas cilíndricas: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^3 \int_{r/3}^{9} r \, dz \, dr \, d\theta \] 4. Cálculo da integral: - A integral em \(z\) é: \[ \int_{r/3}^{9} r \, dz = r \left[ z \right]_{r/3}^{9} = r \left( 9 - \frac{r}{3} \right) = r \left( 9 - \frac{r}{3} \right) = 9r - \frac{r^2}{3} \] - Agora, integramos em \(r\): \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^3 \left( 9r - \frac{r^2}{3} \right) dr \, d\theta \] - A integral em \(r\) é: \[ \int_0^3 \left( 9r - \frac{r^2}{3} \right) dr = \left[ \frac{9r^2}{2} - \frac{r^3}{9} \right]_0^3 = \left( \frac{9 \cdot 9}{2} - \frac{27}{9} \right) = \left( \frac{81}{2} - 3 \right) = \frac{81}{2} - \frac{6}{2} = \frac{75}{2} \] - Finalmente, integramos em \(\theta\): \[ V = \int_0^{2\pi} \frac{75}{2} d\theta = \frac{75}{2} \cdot 2\pi = 75\pi \] Portanto, o volume interno ao cilindro e externo ao cone é \(75\pi\) unidades cúbicas.